[TES] Exercice de Dérivés

[taker5962]

Bonjour
J'ai un exercice à rendre pour la rentrée. Je l'ai commencé ce matin et je reste bloqué sur certaines questions, donc j'aimerai savoir si quelqu'un pouvait m'aider

Voici l'énoncé (je poste mes réponses avec)

***

Partie A :
On considere la fonction g définie sur I = ]0; + infini[ par
g(x) = 2x²+3 - 4 ln (x)

1 ) Calculer g'(x) et determiner son signe ==> g'(x) = 4x - 4(1/x) ==> positive
2 ) calculer g (1) => 3
3 ) Dresser le tableau de variation de g (on ne demande pas les limites) ==> fait sur cahier
4 ) En déduire que pour tout x > 0, g(x) > 0 ==> Pour tout x, g(x) > 0 car f'(x) est toujopurs positive et g(x) est croissante sur I

==> Pour cette partie, juste une vérification serait nécessaire à la limite, quoi que je pense avoir bon...

***

Partie B :

Soit f la fonction définie sur I =]0; + infini[ par
f(x) = 2x + 5 + 4ln(x)/x + 1/x

1) Calculer f'(x) et montrer que f(x) = g(x)/x²

Donc pour le moment je reste bloqué là

f'(x) = 2 + 4(1/x)/x + 1/x, c'est ce que j'ai trouvé
cependant je n'arrive pas à prouver que c'est égal à g(x)/x²

Merci d'avance pour l'aide
Bonne journée !

[Gaaruto]

Je pense que ton g(1) est faux, car tu trouve des x alors qu'il est remplacé par 1.

Pour la partie B, si le f'(x) et donné par ton 2e f(x) je ne suis pas daccord, puisque la dérivée de 1/x est -1/(x^2),ensuite il suffit d'arranger l'écriture de g(x)/(x^2)

[taker5962]

effectivement pour la partie A :
g(1) = 3

merci !!!

***

pour la partie b, cela me ferait

2 + 4(1/x)/x -1/(x^2) c'est bien cela ?

[Iroh]

Bonjour,

Partie A

Q1 : Ta dérivée est juste, mais la fonction dérivée est-elle réellement toujours positive ? ?

Pour vérifier son signe, tu peux écrire ta fonction sous forme d'une seule fraction en réduisant au même dénominateur, tu auras alors une fonction du genre et tu peux faire un tableau de signe.

Q2 : cf. §Gaaruto

Q4 : à revoir si f'(x) n'est pas toujours positive. (Mais le fait que f' soit toujours positive et donc que g(x) soit croissante ne signifie pas que g(x) soit forcément positive. Il se peut qu'elle soit négative pour des valeurs de x faibles et qu'elle croît de plus en plus jusqu'à devenir devenir positive. cf. )

[taker5962]

merci pour les réponses
je comprend bien désormais que g(x) peut etre négative, mais je ne comprend pas en revanche comment le prouver, et en particulier l'histoire des fractions... je n'arrive pas à mettre ma fonction sous forme de fraction :hum:

[Gaaruto]

Pour la partie A:
pour moi g(1)=5 vu que ln(1)=0

[taker5962]

merci
mais 2x² ==> 2x1² => 4... + 3 = 7 non ?

[Iroh]

Ce n'est pas facile de déterminer le signe de g'(x) comme vous l'avez exprimé car elle est sous la forme d'une différence de deux fonction : , car il faut regarder quand a(x) 0, quand ils sont de signes opposés g(x) < 0. Attention aux conditions d'existences : x doit être différent de 0.

EDIT :

EXEMPLE: Soit f un fonction à valeurs réelles tq . On définit ici la fonction f pour toute valeur réelle de x.
Quand on demande de calculer f(1), on demande de dire que vaut la valeur de f(x) quand x = 1.
Càd, ici,

[taker5962]

je vous avouerai que là je suis completement paumé :triste: ...
je n'ai jamais vu cette méthode de réduire en fraction et les réduire au même dénominateur... là franchement je ne vois pas :hum:
merci de votre aide

[Iroh]

Essayons de calculer .
On réduit au même dénominateur, pour ce faire on recherche un multiple commun à 3 et 2 qui sont les 2 dénominateurs des fractions, ici on a 6. (3 = 2*6 et 2 = 3*6)
= = = = .

Dans votre exercice, vous avez . On recherche un multiple commun entre 1 et x, càd x. On a alors :

=
=

[taker5962]

Merci j'ai bien compris comment mettre sur le même dénominateur
Cependant, en mettant la fonction sur la calculatrice, quelque soit la valeur de x, la fonction est toujours > 0... :hum:

[Iroh]

Vous avez essayé avec x = 0.5 ?

[taker5962]

ah oui effectivement, ma calculatrice avec un pas de table de 1, donc impossible de m'en rendre compte, et bien merci pour cela...
donc la dérivée est positive sauf pour 0.5 , où elle est négative, c'est bien cela ?

[Iroh]

Non, il existe une infinité de valeurs pour lesquelles g'(x) est négatives. Vous devez cherchez analytiquement cet intervalle.

Vous faites un tableau de signes (de variations) de et de . Puis, vous regarder sur quel intervalle, les valeurs de h(x) et x sont de signes opposés. Vous aurez alors l'intervalle contenant toutes les valeurs de x où g'(x) est négative.

[taker5962]

ils sont de signes opposés sur l'intervalle [0;1]
donc positive sur l'intervalle [1; + infini] et négative sur [0;1], c'est bien cela ?

[Iroh]

Attention aux bornes des intervalles :
g'(x) est positive et négatives en 1 ?

[taker5962]

effectivement...
dans ces cas là, comment puis-je m'arranger ? :triste:

[Iroh]

Vous avez trouver une solution avec votre calculatrive ? =P

En x=0 g'(x) n'est pas définie (d'ailleurs g(x) n'est définie que pour des valeurs strictement positives).
Et en x=1 g'(x) est nulle. On considère plutôt 0 comme un entier positif chez nous.

g'(x) > 0 sur [1 ; + infinity ]
g'(x) < 0 sur ]0 ; 1 [

[taker5962]

d'accord ! j'avais bien trouvé cela sur la calculatrice, juste un problème pour l'écrire et le faire comprendre sur ma feuille
merci infiniment pour cette première partie :id:

[taker5962]

Voici la seconde Partie :

Partie B :

Soit f la fonction définie sur I =]0; + infini[ par
f(x) = 2x + 5 + 4ln(x)/x + 1/x

1) Calculer f'(x) et montrer que f(x) = g(x)/x²

Donc pour le moment je reste bloqué là

f'(x) = 2 + 4(1/x)/x - 1/x², c'est ce que j'ai trouvé
cependant je n'arrive pas à prouver que c'est égal à g(x)/x²

EDIT : g(x) = 2x²+3-4ln(x)