Pistes pour deux exercices sur les suites

par **romtherekins** » 07 Fév 2010, 13:18

Bonjour à vous !

J'ai un devoir maison pour mardi constitué de deux exercices sur les suites. Je sollicite votre aide pour compléter mes recherches.

Exercice 1 :

Posons U1 = 1/4 , U2 = (1 x 3) / (4² x 2!) et pour tout entier n;)3 :

Un = (1 x 3 x ... x (2n - 1)) / (4^n x n!)

Démontrer l'égalité Un+1 / Un < 1/2 . En déduire que la limite de la suite (Un).

Pour la première partie j'ai posé A = Un+1/Un - 1/2 et j'ai développé en arrivant à A = -1 soit A < 0 et donc Un+1/Un < 1/2. Je pense que cette méthode est acceptable !?

Par contre je coince pour en déduire la suite de la limite car je ne vois pas d'où repartir pour déduire quelque chose de ce qui précède ...

Exercice 2 :

Pour tout entier n

1, posons Un =

(1) +

(2) + ... +

(n)

a) Montrer par récurrence que l'on a Un

n;)n / 2 pour tout entier n

1. En déduire la limite de n / Un.

b) Posons Vn = U(2n) - Un. Démontrer l'inégalité n;)(n+1)

Vn

n;)(2n). En déduire la limite de Vn / n et la limite de Vn / n².

Pour la question a), j'ai réussi à démontrer que cela est vrai pour n = 1. J'ai supposé la proposition vraie pour un entier naturel p et je suis arrivé jusqu'à :

Up+1

Up +

(p+1) mais je n'arrive pas à ramener ceci à :

Up+1

(p+1)

(p+1) / 2

Je ne peux donc pas en déduire la limite ...

Pour la b) je vais m'y mettre après car elle doit avoir un rapport avec la a).

Merci d'avance pour votre aide à ces deux exercices. :++:

par **Ericovitchi** » 07 Fév 2010, 13:56

pour le premier tu ne tombes pas sur A=-1 mais sur A=-1/4(n+1) mais OK c'est bien négatif.
Sinon et bien comme tu viens de démontrer que Un+1/Un < 1/2 alors Un+1< Un/2 et donc la suite est décroissante. Comme elle est décroissante et minorée par zéro elle converge. En plus à partir de Un+1
Pour le 2) quand ru en es à Up+1 ;) Up + ;)(p+1) appliques ton hypothèse qui est que Up ;) p;)p / 2 et montres que p;)p / 2 + ;)(p+1) ;) (p+1);)(p+1)/2 en mettant ;)(p+1 en facteur dans l'expression de gauche

Après une fois que tu as démontré que Un ;) n;)n / 2 il est facile de trouver la limite de n/Un car c'est inférieur à 2/;)n

par **romtherekins** » 07 Fév 2010, 14:08

Merci pour ton aide complète :happy2:

Un autre membre m'a fait la remarque pour la première question. Pourtant je ne parviens pas à trouver où est mon erreur.

J'ai A = Un+1/Un - 1/2

A = (1x3x...x(2(n+1)-1)/4^(n+1) x (n+1)!) x (4^(n) x n! / 1x3x...x(2n-1) -1/2

Je simplifie 4^n il me reste 4 en bas, je simplifie n! il me reste n+1 en bas, et je simplifie 1x3x...x(2n-1) il me reste 2(n+1)-1 en haut soit :

A = 2(n+1)-1 / 4(n+1) - 1/2

A = -1/2 - 1/2

A = -1

Je dois me tromper quelque part mais où ! :briques:

par **Ericovitchi** » 07 Fév 2010, 14:16

il te reste 2n+1 en haut et 4(n+1) en bas pour Un+1/Un
donc Un+1/Un - 1/2 = (2n+1)/(4(n+1)) - 1/2 = -1/4(n+1) après réduction au même dénominateur.

ton erreur c'est quand tu écris que (2(n+1)-1) / 4(n+1) = -1/2 ?? de quel droit écris tu ça ?

par **Sa Majesté** » 07 Fév 2010, 14:21

Serais-tu dans la même classe que Lidibul63 ?
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=100411

par **romtherekins** » 07 Fév 2010, 14:43

Ericovitchi a écrit:il te reste 2n+1 en haut et 4(n+1) en bas pour Un+1/Un
donc Un+1/Un - 1/2 = (2n+1)/(4(n+1)) - 1/2 = -1/4(n+1) après réduction au même dénominateur.

ton erreur c'est quand tu écris que (2(n+1)-1) / 4(n+1) = -1/2 ?? de quel droit écris tu ça ?

I'm stupid ! J'ai pensé que 4(n+1) = 2x2(n+1) et donc que je pouvez simplifier par 2(n+1) mais j'avais complètement oublié le -1 qui empêche la simplification.

Merci je vais pouvoir avancer je reviens sur le topic si j'ai à nouveau un souci.

Pour "Sa Majesté" c'est bien possible puisque les exercices sont les mêmes mais je n'en suis pas sur !

par **romtherekins** » 07 Fév 2010, 15:07

C'est bon je suis enfin Ok !! Pour la décroissance c'est bon aussi.

Par contre pour montrer qu'elle est minorée je retrouve plus la méthode, on doit bien arriver à Un supérieur à 0 mais comment ? En montrant que le numérateur et le dénominateur sont positifs ?

Une suite décroissante et minorée est convergente et j'en conclus limite Un = 0 ?

Merci encore !

par **Sa Majesté** » 07 Fév 2010, 15:12

romtherekins a écrit:C'est bon je suis enfin Ok !! Pour la décroissance c'est bon aussi.

Par contre pour montrer qu'elle est minorée je retrouve plus la méthode, on doit bien arriver à Un supérieur à 0 mais comment ? En montrant que le numérateur et le dénominateur sont positifs ?

Oui

romtherekins a écrit:Une suite décroissante et minorée est convergente

Oui

romtherekins a écrit:et j'en conclus limite Un = 0 ?

Non
Tu en conclus qu'elle converge
Il faut montrer qu'elle converge vers 0

par **Ericovitchi** » 07 Fév 2010, 15:12

oui on peut dire que l'on voit que Un est positif sur l'expression.

Par contre : Une suite décroissante et minorée est convergente oui
"et j'en conclus limite Un = 0" non il faut le démontrer, ça pourrait converger vers autre chose que zéro.

par **romtherekins** » 07 Fév 2010, 15:18

Ce qui revient à calculer la limite de la suite Un non ? (Dans ce cas je ne comprends pas pourquoi on a voulu montrer qu'elle était convergente)

par **Ericovitchi** » 07 Fév 2010, 15:21

utilise Un+1

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