Matrice orthogonale

[les TPEistes]

Bonjour,

Je viens ici à la recherche d'un petit coup de pouce sur un exercice concernant les matrices orthogonales. J'espère que l'un d'entre vous pourra m'aider, le voici :

Soit un entier naturel strictement supérieur à 1, et .

1- Calculer où est le produit scalaire canonique.

Je trouve .

2- Montrer que

Et là je ne vois absolument pas comment m'y prendre...

Merci de votre aide ! :we:

[girdav]

Salut,
que vaut en fonction des coefficients de ?

[les TPEistes]

Bonjour Girdav, et merci de ton aide.

Les coordonnées de AX correspondent à la somme des coefficients des lignes de A, non ?

[fourize]

salut les TPEistes !

je ne comprends pas comment tu as fait pour trouver un
resultat pareil pour la (1). tu pourrais nous montrer les details ?

moi j'ai =

[les TPEistes]

Bonjour fourize,

Le produit scalaire canonique dans n'est il pas ?

[fourize]

re,

Oui, je suis d'accords, =

Bonjour,
Je trouve .

seulement ici, ce qui est en dehors des parenthèses me choque,
que ce qui dit qui sont commutative ?
(ce qui entre parenthèses est BON )

PS. le resultat n'etait pas si mauvaise que ça, je reconnais !!!

[Finrod]

Le produit scalaire est commutatif fourize x.y=y.x , c'est cela ta question ?

Pour la question 2, je dirai qu'il faut faire

or (matrice orthogonale)

et

[les TPEistes]

Fourize :
non ? :hein:

D'accord Finrod ! :id:

[fourize]

salut finrod

Le produit scalaire est commutatif fourize x.y=y.x , c'est cela ta question ?

non non,
en fait en posant A = AX dans la formule =
on a = et lui à écris ???

:triste:

[les TPEistes]

Finrod, pour l'inégalité je trouve :




Tu peux confirmer ?

Fourize, tu as lu mon message précédent ?

[fourize]

Finrod, pour l'inégalité je trouve :



Tu peux confirmer ?

* je confirme ! j'ai trouvé parail !

Fourize, tu as lu mon message précédent ?

pour ton message, je melangeais un peu les pinceau !
voir transposé d'un produit

t'avais parfaitement RAISON!

[Finrod]

Je confirme aussi.

[les TPEistes]

D'accord, merci de ta confirmation. :happy2:

J'ai une autre question, j'ai beau chercher en appliquant la même technique qu'à la précédente ça bloque encore :

C'est : montrer que .

Voila, j'espère que vous pourrez m'aider ou me donner une petite astuce ! :lol3:

EDIT : merci de VOTRE confirmation à tous les deux :happy3:

[Finrod]

Oui en fait pour le première question tu as pris la norme 2, ce qui est juste. J'avais proposé la norme 1 mais l'inégalité n'est vrai que pour la norme 2 car liée au produit scalaire.

ici on te demande maintenant d'encadrer la norme 1.


Pour ton autre question, je cherchas par convexité mais ça ne semble pas donner le bon résultat. Je te prévient si je trouve mieux.

edit : bon déjà c'est plus grand que la valeur absolue de la somme donc que n.

[les TPEistes]

edit : bon déjà c'est plus grand que la valeur absolue de la somme donc que n.

Non parce qu'on n'a pas l'égalité dans la première relation, simplement l'inégalité :nerf:

[Finrod]

J'ai essayé Hölder, la convexité, les normes matricielles, je suis passé à côté de l'astuce.

J'ai réussi à trouver tout de même le majorant.

on sait que n= et que tAA=Id soit

avec ça on peut montrer


Par Holder la norme 1 de A dans est plus petite que n fois la norme 2, qui vaut

Ce qui donne le majorant. Je peux détailler plus si tu veux.

[Finrod]

Je sais pas si je vais revenir aujourd'hui, donc autant détailler.

Pour la formule avec :



en développant le carré. Or si

Donc en faisant rentrer la somme sur i, on obtiens que pour , la somme sur i est nulle. Donc il ne reste que le cas j=j'. soit



Maintenant, on remarque que cela est la norme 2 de A dans , Alors que l'autre somme, celle sur les valeurs absolue est la norme 1 de A dans

La formule de Holder implique l'inégalité suivante



Soit la première somme est inférieure à la racine de =n fois n², ie la racine de , donc

[les TPEistes]

D'accord, mais je connais pas ces histoires de normes 1 ou 2 pour les matrices donc bon...

Merci en tout cas, je vais creuser ce que tu m'as donné, merci ! :we:

[Finrod]

la norme 1 dans un espace vectoriel c'est la somme des valeur absolue des coeff.
La norme 2, la racine de la somme des carré des coeff
le norme 3, la racine cubique de la somme des cube des coeff ...

la norme infinie, c'est le max des coeff.

Il faut connaitre l'inégalité de Hölder pour appliquer ma solution, cela suffit.

[Ben314]

Bonsoir,
Vu l'énoncé de la question1), je me demande si la réponse attendue au 2) n'est pas une simple application du 1) avec X=(1,1,1,...,1) (en colonne) et le fait que || <= ||AX||.||X|| = ||X||² .