Spé maths PPCM & PGCD.

[PixieDust]

Bonsoir,

J'ai un DM pour demain, et le soucis est le suivant : ça fait deux trois cours de spé que j'ai loupé pour des raisons de santé, sauf que je ne pense pas pouvoir obtenir un délais supplémentaire, et il faudrait que je réussisse au maximum ce DM (en comprenant aussi un maximum ce que j'écris, bien sûr).

Si quelqu'un pouvais m'aider pour une partie au moins de cet exercice, je vous en serai très reconnaissante.

Voici le sujet :

On considère l'équation (E) : 23x - 17y = 6.
1. Justifier l'existence d'un couple d'entiers relatifs tels que 23x - 17y = 1 puis en déterminer un. En déduire l'existence d'une solution particulière de (E).

2. Résoudre dans Z² l'équation de (E).

3. Déduire de l'étude précédente les entiers naturels n inférieurs à 1000 tels que dans la division euclidienne de n par 23, le reste soit 2, et dans celle de n par 17, le reste soit 8.



Merci merci merci d'avance.

Nermine.

[Finrod]

Tiens ben justement on est en train d'en parler http://maths-forum.com/showthread.php?t=99520&page=3

Et j'ai répondu à une question sur l'algo d'euclide il y a qq jours en donnant un ex, je te remet le lien en edit si je trouve

ici : http://maths-forum.com/showthread.php?t=99391

[PixieDust]

Génial, j'ai trouvé x = 2 et y = 4 et je suis sure de moi !

c'est avec Gauss qu'on prouve l'existence d'une solution particulière de ( E ) ?

[Ben314]

Génial, j'ai trouvé x = 2 et y = 4 et je suis sure de moi !

Heuuuu, 23x2-17x4=???

[Ben314]

La question 1) se décompose en deux parties :
Une partie 'théorique' : "justifier l'existence de x et y tels que 23x - 17y = 1" dont la réponse vient de l'Identité de Bézout (quel est le pgcd de 23 et 17 ?)
Une partie 'pratique' : "Trouver un tel couple" qui consiste à utiliser l'algorithme d'euclide étendu (appelé aussi algorithme de bézout) pour trouver une solution.

As tu compris comment marche l'algorithme ?