Vecteur: Droite d'Euler

[jusdepomme78]

Bonjour,

J'ai vraiment du mal, sur mon devoir maison de maths donné pour les vacances.
Donc, voilà, j'aimerais si possible que quelqu'un puisse m'aider ou me lancer sur une piste!!

Ci dessous, le DM

Soit ABC un triangle non aplati, et non équilatéral, et soient A';B' et C' les milieux respectifs des segments [BC], [CA] et [AB]. On note O le centre du cercle circonscrit à ce triangle, c'est à dire le point d'intersection de ses trois médiatrices. (Toutes les longueurs qui vont suivre sont à considérer comme vecteur étant donné que je suis incapable de foutre la petite flèche sur les majuscules

Première partie

Soit H défini par l'égalité vectorielle suivante :

OH=OA+OB+OC

1°) Montrer que OB+OC=2.OA, puis que AH=2.OA
2°) En déduire que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
3°) En procédant de même, démontrer que (BH) et (AC), puis que (CH) et (AB) sont perpendiculaires.
4°) En déduire la nature du point H.


Seconde partie

Soit G le point défini par l'égalité vectorielle suivante :

GA + GB + GC = O (Vecteur nul)
1. Montre que AG = 2/3.AA'. Que peut on en déduire pour le point G ?
2. Raisonnant de même à partir de deux autre égalités similaires, établir la nature du point G.
3. Montrer que pour tout point M du plan, MA + MC + MC = 3.MG
4. En déduire que les points O, G et H sont alignés, ainsi qu'une relation exprimant la position relative de ces trois points.

Dans un triangle non équilatéral, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre sont alignés. La droite passant par ces trois points est appelée droite d'Euler du triangle.

Que peut on dire des points O, G et H dans le cas ou le triangle ABC est équilatéral ?


J'ai deja réussi à faire la première moitié de la première question et après BLOQUÉE!!
Je sais que c'est un peu long donc merci si vous avez deja pris le temps de le lire...
Merci beaucoup par avance :we:
A très bientôt

[oscar]

figure


http://yfrog.com/3tdreulerg

[jusdepomme78]

Merci beaucoup !
Mais j'avais réussi à construire la figure...
Je n'arrive pas démontrer que vecteur AH=vecteur 2.OA et donc du coup faire la suite de l'exercice... :hum:

[oscar]

notions


http://yfrog.com/3tdroitedeulerj

[oscar]

On a OH = OA +-OB +OC
OH = OA +AH
=> AH = OB+OC
Soit A ' le milieu de[ BC] ..B.........A'.......C...........
OB + OC = OA' +A'B + OA' +A' C = 2OA' (car A'B = - A'C)
=> AH //BC

[jusdepomme78]

D'accord mais justement je n'arrive pas a démontrer que AH=OC+OD...

[jusdepomme78]

Comment dois je le faire??