Démonstration avec vecteur et droite d'euler

[alexandra59]

bonjour j'ai un exercice a faire et je n'arrive pas . pouvez vous m'aider ?

la premiere partie j'ai réussi je vous met lénoncé quand meme .

on note H le point défini par vOH = vOA + vOB + vOC [1]
le but de cette partie est de démontrer que h est l'orthocentre du triangle ABC .

1) a. pouvez à partir de [1] que vAH = 2 vOA .
b. Démontrez que (ah) est perpendiculaire à (bc)
2) démontrez que (bh) est perpendiculaire à (ac) . concluez

cette partie la est faite .

2eme partie : Droite d'Euler .
1) Prouvez que vOH = 3vOG [2]
2)a. Examinons la question de savoir si O,G,H peuvent etre confondus.
en utilisant [2] prouvez que si deux d'entre ces points le sont , alors le troisieme est confondu avec eux. Déduisez en que ABC est équilatéral .
b. Réciproquement si ABC est équilatéral, vérifiez que O, G et H sont confondux.
c. Que dire des points distincts O,Het H lorsque ABC est non équilatéral.

j'ai reussi la 1ere de cette partie mais pas les autres .
merci

[alexandra59]

pouvez vous m'aider svp?

[Vintage]

Décidément les profs de 1ère S adore cet exo pour les barycentres !

Je te donne une première piste pour le début :

1a) Tout d'abord justifie que vOB + vOC = 2vOA
Tu sais que lorsqu'un point I est le milieu d'un segment AB , pour tout point M du plan , on a vMA + vMB = 2vMI.
De la même façon on sait que A est le milieu de CB , O est un point du plan donc on a vOB + vOC = 2OA.

Pour vAH = 2vOA , on a vOH = VOA + vOB + vOC , alors
vOH- vOA = vOB + vOC
vOA + vAH - vOA = vOB + vOC.
Donc vAH = vOB + vOC.
Or on sait que : vAH = vOB + vOC = 2vOA

D'où vAH= 2vOA. ( vAh et vOA sont colinéaires )

Essaie de comprendre déjà ça et de continuer . Bon courage