Cercle osculateur

[AlexisD]

Bonjour à tous.
Comment montrer ceci:
On se donne une courbe régulière paramétrisée par longueur d'arc sur un intervalle I. On suppose qu'en un point , la courbure est telle que
Comment montrer que le cercle osculateur en coupe la courbe ?

J'avais pensé à poser la fonction:
ou C(t) désigne l'équation du cercle osculateur.
Et je voulais montrer que f s'annule au moins une fois. Je pourrais étudier les variations de la fonction,... mais comment utiliser le fait que ?

[alavacommejetepousse]

bonjour

on écrit l équation du cercle ds le repère local ( M(t0) , f^(p)(t0) , f^(q) (t0) )

[AlexisD]

Mais p est-il ici le plus petit entier de tous les tel que ou ?

[alavacommejetepousse]

premier entier caractéristique

deuxième proposition

[AlexisD]

Je suis navré, mais j'ai un peu de mal encore avec cette proposition, je n'arrive pas à utiliser le fait que

[alavacommejetepousse]

tu as écrit l équation?

[AlexisD]

Et bien, voilà ce que j'écris, mais à l'aveuglette, j'avoue...

De là, je dérive:

Mais quel est le cheminement de la démonstration ?

[alavacommejetepousse]

on a un point birégulier pour simplifier je prends s0= 0

ds le repère (M(0),t,n) l'équation du cercle est

X^2 +Y^2 -2RY= 0

la fonction

f(s) = X^2(s) +Y^2(s) -2RY(s) s'annule en 0 ainsi que ses deux premières dérivées mais pas sa dérivée troisième ce qui prouve qu'elle change de signe au voisinage de 0

[AlexisD]

Ah oui...
pour la première derivée, je vois car c'est en fait le vecteur tangent de pente nulle, donc c'est 0
Mais pour la dérivée seconde qui est égale à K. N(o), pourquoi est-ce nul ?

[AlexisD]

OK bien merci.
Je ne suis pas très à l'aise avec ce genre d'exercice qui en fait n'est pas si compliqué; je n'ai pas le coup d'oeil géométrique, c'est dommage.
Cela dit j'ai parfaitement compris la démonstration de la proposition. Merci bien.