Calcul d'un arc de cercle avec le rayon et le segment circulaire

[sebbik]

bonsoir,
voila je dois trouver la longueur d'un arc de cercle alors que je n'ai que le rayon et la surface du segment circulaire (aire comprise entre la corde et l'arc).
Je ne connais ni l'angle ni la flèche, ni la corde.

je n'arrive pas à trouver le raisonnement!
merci


données:
R= 5
S= 3m²

[Black Jack]

Soit x en radians l'angle du segment circulaire.

S = (R²/2).(x - sin(x))
On connait S et R --> on peut calculer x (par exemple par approximations successives ou graphiquement) et par suite la longueur de l'arc.


:zen:

[sebbik]

non ce n'est pas bon!
je n'ai pas la surface d'une portion du cercle mais uniquement la surface entre l'arc et la corde de cet arc
si vous avez une autre idée

[phryte]

Bonjour.
S = R^2theta/2 - 1/2R^2sin(theta)
Equation non linéaire qui donne theta = 0.12 rd
soit la longueur de l'arc = 5*0.12 = 0.6 m
Comme l'angle est "petit" tu trouves pareil en assimilant l'angle à l'arc.
Il faut résoudre :
S = R^2theta/2 - 1/2R^2theta
soit S-R^2theta = 0 --> theta = S/R^2 --> theta = 3/25 = 0.12 rd

[Black Jack]

non ce n'est pas bon!
je n'ai pas la surface d'une portion du cercle mais uniquement la surface entre l'arc et la corde de cet arc
si vous avez une autre idée

Pas besoin d'autre idée.

Celle que j'ai indiquée est correcte.

La formule de l'aire que j'ai donné est bien celle du segment circulaire et pas du secteur circulaire.

Mais je n'ai pas la même réponse que phryte.
Je trouve x = 1,155 rad (a moins de 0,001 rad près)

Il reste à trouver la longueur de l'arc ...

:zen:

[phryte]

Bonjour.

Mais je n'ai pas la même réponse que phryte. Je trouve x = 1,155 rad (a moins de 0,001 rad près)

Cela donne :
Aire du secteur = 5*5*1.155/2 = 14.4375
Aire du triangle = 1/2*5*5*cos(1.155) = 5.0489
Aire du segment = 14.4375 - 5.0489 = 9.388 m^2 !

[sebbik]

Effectivement Black jack vous avez raison on y arrive par approximation grâce à votre formule. J'ai contrôlé l'angle de 1.155rd sur mon logiciel de dessin et il est bien correcte.
Merci à vous deux!

[Black Jack]

Bonjour.

Cela donne :
Aire du secteur = 5*5*1.155/2 = 14.4375
Aire du triangle = 1/2*5*5*cos(1.155) = 5.0489
Aire du segment = 14.4375 - 5.0489 = 9.388 m^2 !

Aire du secteur = 5 * 5* 1,155/2 = 14,43 m²
Aire du triangle = 5 * cos(1,155/2) * 5 * sin(1,155/2) = (25/2).sin(1,155) = 11,43 m²
Aire du segment = 14,4375 - 11,43 = 3 m^2

:zen:

[phryte]

Bonjour.

OK Black Jack tu as raison, je me suis trompé dans la formule de l'aire d'un triangle (cos au lieu de sin !) qui est 1/2 absin(c) soit 1/2*5*5*sin(1.155) = 11.435 m^2

[lebel]

Pas besoin d'autre idée.

Celle que j'ai indiquée est correcte.

La formule de l'aire que j'ai donné est bien celle du segment circulaire et pas du secteur circulaire.

Mais je n'ai pas la même réponse que phryte.
Je trouve x = 1,155 rad (a moins de 0,001 rad près)

Il reste à trouver la longueur de l'arc ...

:zen:

Bonjour
J'ai un problème un peu similaire
-Soit un demi cercle de centre O , de diamètre AB ( rayon R=6cm )
Une corde AD délimite un segment circulaire ègal à piR2 /4 =28,274
Soit AÔD ,alpha , l'angle formé Quelle est sa valeur ? en radians et en degrés
J'ai la formule R2/2 x (alpha-sin alpha ) = pi R2/4
d'ou alpha-sin alpha = pi/2

Comment determiner cette valeur alpha mathematiquement et sans tatonnement ?
Merci de me répondre
Lebel

[Black Jack]

Bonjour
J'ai un problème un peu similaire
-Soit un demi cercle de centre O , de diamètre AB ( rayon R=6cm )
Une corde AD délimite un segment circulaire ègal à piR2 /4 =28,274
Soit AÔD ,alpha , l'angle formé Quelle est sa valeur ? en radians et en degrés
J'ai la formule R2/2 x (alpha-sin alpha ) = pi R2/4
d'ou alpha-sin alpha = pi/2

Comment determiner cette valeur alpha mathematiquement et sans tatonnement ?
Merci de me répondre
Lebel

Sauf cas particulier, si alpha est à la fois utilisé seul et comme argument d'une fonction trigonométrique, on ne peut trouver alpha directement.

On peut par exemple montrer ici que la fonction f(x) = x - sin(x) est strictement croissante sur R et que lim(x-> -oo) f(x) = -oo et que lim(x-> +oo) f(x) = +oo

Et de là conclure qu'il y a une et seule valeur x sur R pour laquelle f(x) = K avec K une constante réelle quelconque.

On peut ensuite approcher cette valeur de x avec la précision qu'on veut (mais pas la valeur exacte sauf cas particulier) par approximations successives par exemple en utilisant la méthode dichotomique.
Ce n'est pas du tatonnement, qui sous-entend, qu'on y va sans méthode.

On peut aussi tracer le graphe de la fonction g(x) = x - sin(x) - Pi/2 et lire graphiquement (avec l'imprécision que cela implique) la valeur de x qui l'annule.

:zen:

[lebel]

Merci Black Jack pour ta réponse , c'est , globalement ,la réponse qui m'a été faite sur un autre forum , à savoir qu'il n 'y a pas de solution directe pour determiner alpha.......et la , il faudrait que je maitrise la notion de fonction !

Pharmacien retraité , titulaire d'un bac B Philo , mon niveau maths etait à l'époque ( 1954 ) trés mediocre .......depuis j'ai toujours rêvé d'etre fort en maths ......pour mon plaisir , j'essaie d 'en reconstituer les bases , mais la route est longue et ardue !