TS Exponentielle

[Oolon]

Salut,
j'ai quelques difficultés sur un exercice sur les exponentielles. Notre prof nous a donné cet exo pour découvrir les exp ce qui fait que je sais juste que f'=f et que f(0)=1 pour une exponentielle.
1.
Démontrer que la fonction g définie sur R par g(x)=exp(x+b)/exp(b) vérifie g'=g et g(0)=1
Donc j'ai fait la dérivée de g, je trouve g'(x)=0 donc g est constante cependant je n'arrive pas à prouver que g'=g :s
je trouve bien que g(0)=1 puisque g(0)=exp(b)/exp(b)

Donc mon problème c'est surtout de prouver que g'=g si vous pouvez m'aider :we:
Merci a+

[Ericovitchi]

Pourquoi g'(x) = 0 ???
g(x)=exp(x+b)/exp(b) C'est exp(x+b) divisé par une constante
la dérivée de exp(x+b) c'est exp(x+b)

donc g'(x)=g(x)

[Oolon]

Ah ok je vois parce que je calculais la dérivé comme g'=(u'v-v'u)/(v²) du coup en faisant u'=u et v'=v ça ne marchait pas.
Par contre j'arrive pas à prouver que exp(a+b) = exp(a)*exp(b)
je pense qu'il faut prouver que g(x)=exp(x) puis remplacer x par a mais je ne sais pas comment ?
Merci

[Ericovitchi]

exp(a+b) = exp(a)*exp(b) c'est un formule admise
c'est pareil que

Tu cherches à démontrer quoi au juste ? tu as déjà démontré que g'x)=g(x)

[Oolon]

Je dois démontrer que exp(a+b)= exp(a)*exp(b) en passant par les démonstrations précédentes.

[zerkel]

Bonsoir, alors il semblerait que ton prof a donné pour définition que la fonction exponentielle est la fonction qui vérifie f' = f et f(0) = 1.
Tu as utilisé la fonction g(x) =exp(x+b) /exp(b) et tu as vu qu'elle vérifie g' =g et g(0) = 1, et bien à partir de ta définition et de ton résultat tu peux trouver la réponse normalement.

[Oolon]

Ah ben ouais effectivement ^^, merci de ton aide.

[Timothé Lefebvre]

Salut,

tiens ça me fait penser à un exercice intéressant en TS : montrer que

[Timothé Lefebvre]

En faisant la brute on dit que l'expo est un morphisme de (R,+) dans (R+*,x) et en posant deux ou trois autres trucs ça devient trivial.

Sinon on revient à la définition telle que :



La seconde étape servant à se débarrasser des conditions qui peuvent embêter.

On pose ensuite x=0.

[Nightmare]

Salut,

tiens ça me fait penser à un exercice intéressant en TS : montrer que

A priori, exp(0)=1 par définition (Cf le premier post du topic), les autres constructions de l'exponentielle n'étant pas au programme de Ts...

[zerkel]

En faisant la brute on dit que l'expo est un morphisme de (R,+) dans (R+*,x) et en posant deux ou trois autres trucs ça devient trivial.

Sinon on revient à la définition telle que :



La seconde étape servant à se débarrasser des conditions qui peuvent embêter.

On pose ensuite x=0.

Une série de Taylor en lycée, c'est un peu brutal quand même :p

[Timothé Lefebvre]

La construction avec la somme est bien vue au lycée il me semble ... non ?

[Nightmare]

Admettons, justifie moi la notation employée avec des outils de lycée alors.

[zerkel]

http://www.education.gouv.fr/bo/2001/hs4/default.htm
voici le programme officiel en vigueur pour la classe de terminale S à la page 4 on parle de la fonction exponentielle et donc il semblerait que l'on introduise plus ou moins l'idée de la série infinie sauf qu'il semblerait qu'on reste dans le cadre d'une somme partielle qui approche le résultat.

[Timothé Lefebvre]

Je ne sais pas trop, je dirais qu'on pose :



On dérive et ... Ça dérive trop et sort du cadre du lycée

Et en développement de fraction continue ?

[Nightmare]

Il ne faut pas vouloir aller plus vite que la musique, c'est beau de parler de morphisme ou de définir l'exponentielle par une série, mais connaître des noms sans savoir ce qu'ils veulent dire n'est pas très intéressant.

Bref, pour info, le seul problème de cette définition, c'est qu'il faut montrer que existe (/converge) pour tout x. Pour ça on peut par exemple utiliser le critère de d'Alembert qui nous permet de montrer que le rayon de convergence de la série entière est infini, c'est donc qu'il y a convergence de la série en tout point et qu'on peut en tout point définir la somme de la série, qu'on note alors exp(x)

[Timothé Lefebvre]

Bon bon, ne t'énerve pas je blaguais !

Niveau lycée on peut s'intéresser à la limite en 0 de à mon avis.
Et on sait aussi que

[Nightmare]

M'énerver moi? Jamais :lol3:

Pour ce qui est de la limite en 0 de x^x ça serait une idée mais comment "montrer" qu'elle est nulle sans passer justement par le fait que exp(0)=1 ? On ne peut pas vraiment puisque x^x est définie par l'exponentielle justement.

Bref, tout ça pour dire qu'au niveau lycée, on ne peut que se contenter (à juste titre) de dire que exp(0)=1 par définition .