Convergence d'une suite

par **lapras** » 03 Oct 2009, 19:01

Bonsoir,
j'ai une suite

qui vérifie :

avec

fixé.
j'aimerais montrer que

a une limite (finie ou infinie).
Auriez vous des indications ?

Lapras

par **Zavonen** » 03 Oct 2009, 19:25

Si v_n=u_n+1-u_n
On a:
|v_n|<=(1-a)|v_n-1
Donc la série de terme général v_n est absolument convergente d'après le critère de d'Alembert.

par **lapras** » 04 Oct 2009, 06:53

j'avais essayé ca mais je ne suis pas d'accord :
on a v_{n+1} <= -(1-a)V_{n}
mais on ne peut pas passer aux valeurs absolues !

par **Zavonen** » 04 Oct 2009, 07:00

mais on ne peut pas passer aux valeurs absolues !

Exact!, désolé...

par **Zavonen** » 04 Oct 2009, 08:01

J'ai l'impression que le cas a quelconque n'est pas différent du cas a=1/2.
Bornons nous pour le moment à étudier ce cas particulier.
Soit d=|u1-u0|
Une suite telle que tu proposes a à chaque 'instant' n une possibilité de croissance 'instantanée' de d/2^n et de croissance 'globale' majorée par d/2^(n-1).
La limite inférieure de la suite existe toujours dans la droite réelle achevée et elle est soit -infini soit une valeur finie.
Il me semble que la remarque ci-dessus doit permettre d'assurer que si la lim inf est finie la suite est convergente et sinon elle tend vers -infini. Je ne l'ai pas formalisé.

par **wserdx** » 04 Oct 2009, 16:43

Je pense que la condition implique

La suite

est donc décroissante

Convergence d'une suite

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