Question dérivation 1ère

[skertel]

Bonjour,

J'aurais voulu connaître le "lien" (avec une explication développée si possible) entre une fonction et sa fonction dérivée, qui n'est pas expliqué dans le cours de première (on donne simplement les formules des fonctions dérivées).

[guigui51250]

Il n'y a pas vraiment de lien entre une fonction et sa dérivée sauf que c'est ça dérivée lol

Le seul lien que je connais (ou que je me souviens) c'est que la dérivée en un point a est le coefficient directeur de la tangente a la fonction en a.

[guigui51250]

Si mon explication n'est pas compréhensible, voilà le lien de wikipédia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e#Approche_intuitive

[sky-mars]

Salut
En 1ere, on t'introduit la notion de nombre dérivée, correspondant à la limite du taux d'accroissement, et comme interprétation géométrique, il faut retenir que le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse .
En effet quand on regarde le taux d'accroissement, on y reconnait la formule pour calculer le coefficient d'une droite, sauf qu'on y ajoute une limite devant.
Puis dans un second temps, on te parle de fonction dérivée, qui est une généralisation de la formule du taux d'accroissement.
Le signe de la dérivée correspond à la variation de la fonction, quand la dérivée s'annule sa correspond à un extremum.

[guigui51250]

Le signe de la dérivée correspond à la variation de la fonction,.

Pour compléter, si ta dérivée est positive, ta fonction est croissante, et vise versa

[emdro]

Bonjour,

Le signe de la dérivée correspond à la variation de la fonction,

oui,

quand la dérivée s'annule sa correspond à un extremum.

non, pas nécessairement. Cela signifie que la courbe admet une tangente horizontale. Mais rien n'oblige la fonction à changer de sens de variation à cet endroit. Considérer la fonction cube en 0...

[oscar]

Bonjour: interprétation géométrique de la dérivée


http://img525.imageshack.us/i/nombrederive.gif/

[Black Jack]

La fonction dérivée de la fonction f(x) peut se trouver ainsi :

f '(x) = lim(h --> 0) [(f(x+h) - f(x))/h]

Il faut bien entendu vérifier si f'(x) existe et dans quel domaine ...
********

Exemple simple :

f(x) = x² + 2x
Df = R

f '(x) = lim(h --> 0) [(f(x+h) - f(x))/h]
f '(x) = lim(h --> 0) [((x+h)²+2(x+h) - (x²+2x))/h]
f '(x) = lim(h --> 0) [(x²+h²+2xh+2x+2h-x²-2x)/h]
f '(x) = lim(h --> 0) [(h²+2xh+2h)/h]
f '(x) = lim(h --> 0) (h+2x+2)
f '(x) = 2x+2
Df ' = R

Et donc la fonction f(x) = x² + 2x est dérivable sur R et sa fonction dérivée est f '(x) = 2x+2
*********
:zen:

[skertel]

Ok, merci bien, je vais essayer de me redémontrer tout ça pour bien me le mettre dans la tête.

Sinon, il y a-t-il une autre formule permettant d'obtenir la fonction dérivée sans utiliser les limites?

[guigui51250]

Il y a toutes les formules de dérivés, sous c'est sous forme de tableau avec la fonction et sa dérivée.

[skertel]

Comment fait-on pour calculer la dérivée du cos et du sin (le cours n'explique pas comment on arrive à -sin x et cos x).
En effet, je vois pas comment me démêler avec lim(h --> 0)[(cos(x+h)-cos(x))/h].

[sky-mars]

il faut connaitre ces formules trigo my friend

au numérateur:

sa nous fait donc

Or lim (-cos(x)(1-cos(h) ) =0 quand h-> 0
et lim =1 quand h->0
d'ou le résultat suivant :

[sky-mars]

même principe pour la dérivée du sinus, je te laisse le faire :)

[skertel]

Ah bien, j'avais pas pensé à appliquer ces petites formules apprises en fin d'année sur ça ^^

[skertel]

Heu, désolé, dans ton raisonnement, je ne vois pas pourquoi lim((sinh)/h)=1 quand h->0 :s

[sky-mars]

Parce que :



limite du taux d'accroissement

[skertel]

Le problème, c'est que pour trouver la limite de sin(h)/h, t'as besoin de connaître la dérivée du sinus (sin'(0)=cos(0)). Or, pour le démontrer avec ta méthode, il faut justement connaître sin(h)/h. Donc c'est pas logique, vu que tu prends pour acquis quelque chose que t'as pas démontré.

J'espère que tu vois de quoi je veux parler...

[sky-mars]

oui il faut connaitre la dérivée du sinus c'est sur :
pour trouve sin(h)/h tu passe soit par le taux d'accroissement, soit tu l'admet comme limite à connaitre (ce qui peut etre le cas en classe de 1ère)

Limites à connaitre pour la trigonométrie

[skertel]

Ok, donc c'est que avec du hors programme qu'on peut démontrer ça rigoureusement. Merci sky-mars ^^

Sinon, pourrais-je vois également les démonstrations pour les formules de dérivation pour des fonctions:

Avec u et v des fonctions déf sur R:

(u*v)'= u'v+v'u
(racine(u))'=u'/(2racine(u))
(uov)'=v'*(u'(v))
(u/v)'=(u'v-v'u)/v² ???

Merci

[sky-mars]

non non ce que je t'écris c'est au programme
il faut connaitre la limite du sin(x)/x

Ce qui n'est pas au programme c'est les developpements limités mais j'ai rien developpé ca.