Question de cours sur injection - surjection - bijection

par **Dinozzo13** » 09 Juil 2009, 08:48

Bonjour, pourriez-vous m'expliquer plus clairement les notions de bijection, surjection et injection car je ne les comprens pas bien, merci.

par **skilveg** » 09 Juil 2009, 08:59

Salut,

Il y a des explications de ce genre de définitions sur Wikipédia...

par **Dinozzo13** » 09 Juil 2009, 09:05

oui je sais, j'ai déjà regarder, mais il me reste des doutes, par exemple, lorsqu'on a une fonction f définie sur I, qu'on a f(I)=J et que tout y de J admet un unique antécédent x dans I, alors est-ce que cela implique qu'il y ait le même nombre d'éléments dans I et dans J, autrement dit, est-ce que card(I)=card(J) ?

par **skilveg** » 09 Juil 2009, 09:08

Oui! Ca peut être vu comme une définition du cardinal, mais aussi en "comptant" les éléments:

induit une bijection de

dans

, donc à chaque élément de

correspond exactement un élément de

, il en a donc autant.

par **Dinozzo13** » 09 Juil 2009, 09:12

Ok :ptdr: , donc, de ce fait, la surjection pourrait se traduire par card(I)>card(J) et l'injection par card(I)<card(J) ?

par **skilveg** » 09 Juil 2009, 09:17

Tout à fait.

par **Dinozzo13** » 09 Juil 2009, 09:23

Et enfin, petite précision, est-ce que il peut y avoir plusieurs antécédents ou images par images ou antécédents, ou il y a unicité ?

par **ft73** » 09 Juil 2009, 09:38

skilveg a écrit:Tout à fait.

Euh, je ne suis pas du tout d'accord...

par **skilveg** » 09 Juil 2009, 09:38

En général, une application envoie un élément sur une unique image, sinon ça fait désordre. Pour l'unicité de l'antécédent, je te renvoie à la définition de l'injectivité.

ft73 a écrit:Euh, je ne suis pas du tout d'accord...

Tu peux développer?

par **Dinozzo13** » 09 Juil 2009, 09:40

OK, merci encore, pour votre aide, a bientôt ^^ !

par **ft73** » 09 Juil 2009, 09:41

Dinozzo13 a écrit:Et enfin, petite précision, est-ce que il peut y avoir plusieurs antécédents ou images par images ou antécédents, ou il y a unicité ?

f(x) donne une image unique, c'est la définition d'une fonction.
L'antécédent n'est pas nécessairement unique, et n'existe pas forcément. Sinon je ne vois pas l'intérêt de la notion d'injection...

par **ft73** » 09 Juil 2009, 09:44

[quote="Dinozzo13"]Ok :ptdr: , donc, de ce fait, la surjection pourrait se traduire par card(I)>card(J) et l'injection par card(I)[U]{0,1,2}
f(0)=0
f(1)=0
et f n'est pas injective avec pourtant card I {0,1}
g(0)=g(1)=g(2)=0
et g n'est pas surjective pourtant card I > card J

par **ft73** » 09 Juil 2009, 09:55

skilveg a écrit:En général, une application envoie un élément sur une unique image, sinon ça fait désordre. Pour l'unicité de l'antécédent, je te renvoie à la définition de l'injectivité.

Tu peux développer?

C'est fait...

par **skilveg** » 09 Juil 2009, 11:42

Oui d'accord. Pour moi "se traduit par" ça voulait dire "implique". Evidemment que la réciproque n'est pas vraie.

par **oscar** » 09 Juil 2009, 13:55

Voila une BIJECTION

http://img23.imageshack.us/i/bijection.jpg/

par **oscar** » 09 Juil 2009, 14:01

Surjection- injectiion

http://img232.imageshack.us/i/surjectinetinjection.jpg/

par **oscar** » 09 Juil 2009, 14:05

On appelle INJECTION toute appication de f: A --> B telle que
pour tout , y A: x # y =>f(x) # f(y)

par **Dinozzo13** » 09 Juil 2009, 15:16

Ok, merci pour la leçon ^^

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