Dimension d'un fractale

[Bastien L.]

Bonjour,


Bon, c'est hors-programme, mais on parle bien de ces bêtes là durant l'année.

J'ai entendu dire que la dimension des fractales tels le floncon de Von Koch était comprise entre 1 et 2. Intrigué, j'ai essayé de me renseigner sur la question de cette notion de "dimension" (grâce à Wikipédia).

___
D'abord, est-ce que cette définition revient à dire qu'une famille de vecteurs est dîte libre si aucun n'est nul et aucun n'est colinéaire à un autre?

"Une famille finie de vecteurs de est dite ''libre'' dans si, et seulement si:
:
Le cas échéant, elle est dite ''liée''."
___


Ensuite, est-ce que quelqu'un pourrait me faire comprendre pourquoi la dimension d'un fractale n'est ni 1 ni 2? Instinctivement, j'étais tenté de me dire qu'on pouvait soit le voir comme une figure du plan, et le considérer comme de dimension 2, soit soit le voir comme une ligne continue, et le considérer comme de dimension, de même qu'on dit que le corps des complexes est de dimension 2 si on le voit comme un -espace et qu'il est de dimension 1 si on le voit comme un -espace… Mais, visiblement, il y a beaucoup plus à dire… ^^

[Nightmare]

Salut :happy3:

Attention, la dimension fractale n'a pas de "rapport" avec la dimension d'un espace vectoriel.

Regarde la page dewikipédia

[Bastien L.]

Bonjour!

Ah? Je me suis renseigné sur quelque chose qui n'a pas de rapport… Bon, ça, c'est fait… ^^ Je vais voir la page indiquée…

[Bastien L.]

J'avais lu cette page. Tu es sûr que ce n'est pas de la même notion de dimension qu'il s'agit ???

[Nightmare]

J'avais lu cette page. Tu es sûr que ce n'est pas de la même notion de dimension qu'il s'agit ???

Clairement, regarde la définition de dimension fractale (d=ln(n)/ln(h)) qui n'a rien à voir avec la dimension d'un ev qui correspond au cardinal de ses bases.

[Bastien L.]

Bonjour L.A.,


Comment lis-tu dans la définition que j'ai recopiée qu'une famille de vecteur n'est pas dîte libre dès lors qu'un au moins de ses vecteurs est une combinaison linéaire de deux autres?

Pour Nightmare,

Visiblement, il s'agit de ce qu'on appelle la "Dimension de Hausdorff", c'est ça?

[L.A.]

Comment lis-tu dans la définition que j'ai recopiée qu'une famille de vecteur n'est pas dîte libre dès lors qu'un au moins de ses vecteurs est une combinaison linéaire de deux autres?

Il faut transformer un peu le déf.

si il existe un famille l1...ln de réels non tous nuls(attention) tq
l1e1 + l2e2 + ... + lnen =0

l'un des li est non nul
alors si on suppose que l1 est non nul par exemple, on a
e1 = -1/l1*(l2e2 + ... + lnen)

pour la récip. c'est encore plus simple.

[Nightmare]

Visiblement, il s'agit de ce qu'on appelle la "Dimension de Hausdorff", c'est ça?

Voila c'est bien ça :happy3:

Dans le cas d'ev, la dimension de Hausdorff correspond à la dimension de l'ev.

[Bastien L.]

Ok, merci. Bon, je vais avancer un peu dans mes révisions pour le bac avant que de revenir approfondir tout ça… ^^

[Dominique Lefebvre]

Voila c'est bien ça :happy3:

Dans le cas d'ev, la dimension de Hausdorff correspond à la dimension de l'ev.

Bonjour,
Si je peux me mêler de la discussion, la dimension de Hausdorff est une notion topologique, qui n'a pas grand chose à voir avec les familles de vecteurs libres ou liées, ni même aux espaces vectoriels.
On définit cette dimension sur un espace métrique, après avoir défini sur ce même espace métrique la notion de mesure d'ordre de Hausdorff.

[Nightmare]

Je suis d'accord, j'ai simplement dit que la dimension de Hausdorff d'un ev (R-ev en fait) correspond à sa dimension (en tant que R-ev)

[Dominique Lefebvre]

Je suis d'accord, j'ai simplement dit que la dimension de Hausdorff d'un ev (R-ev en fait) correspond à sa dimension (en tant que R-ev)

Tu as tout à fait raison... Les valeurs fractionnaires de dimension de Hausdorff se rencontrent rarement sur des EV classiques...

[Nigoo]

Excusez moi de m'incruster à mon tour dans la conversation, mais un "détail a réveillé ma curiosité :p.

Quand tu dis

Les valeurs fractionnaires de dimension de Hausdorff se rencontrent rarement sur des EV classiques...

Est-ce que celà veut dire qu'il existe des Ev pour lesquels cette dimension est fractionnaire, et si oui, lesquels ?

[Dominique Lefebvre]

Excusez moi de m'incruster à mon tour dans la conversation, mais un "détail a réveillé ma curiosité :p.

Quand tu dis


Est-ce que celà veut dire qu'il existe des Ev pour lesquels cette dimension est fractionnaire, et si oui, lesquels ?

C'était sarcastique.....