DM 1ere S: suite fractale avec flocon de Von Koch

par **kekette90** » 31 Mai 2008, 12:01

J'ai un DM a rendre pour lundi j'aimerai que vous m'éclaireriez dans mes réponses que j'ai trouver et celle que je n'ai pas trouver merci D'avance ^^

Sujet:
On construit une célèbre suite de polygones de la manière suivante. Po est un triangle équilatérale de côté 10(en cm). Le polygone étant construit avec des côtés de longueur ln, on obtient le polygone Pn+1 en remplaçant chaque côté par une ligne polygonale à quatre segments de longueur ln/3 comme l'indique la figure: [dsl je ne sais pas comment mettre les figures]

Questions:
1) Montrer que la suie formée par le nombre cn de côtés du polygone P est une suite géométrique. Exprimer cn en fonction de n.
2) Montrer que la suite des longueurs ln des côtés des polygones Pn est une suite géométrique. Exprimer ln en fonction de n.
3) ON désigne par pn le périmètre du polygone Pn. En déduire une expression de pn en fonction de n.
Montrer que la suite (pn) tend vers + infini.
4) On désigne par An l'aire du polygone Pn.
a) En examinant l'air ajouté lorsqu'on passe de Pn-1 à Pn, montrer que
An = An-1+ 3/4 Ao (4/9)^n.
b) En déduire que An= Ao[8/5 - 3/5 (4/9)^n ]. Calculer Ao.
c) Déterminer la limite de la suite (An).

Réponse: pour l'instant je n'ai que sa
1) cn+1= 10Pn
C'est une suite gémétrique de raison 10
cn = Pn x (10)^n

2) ln+1=Pn(ln/3)
suite géométrique de raison (ln/3)
ln= Pn(n/3)^n

3) je ne vois pas comment déduire l'expression de pn en fonction de n nous n'avons aucune valeur ou faut-il utiliser les expression précédente ?! mais pour montrer que la suite tend vers + infini aucun problème il faut juste que je trouve l'expression et j'y arrive!

4) je ne vois pas du tout se qu'il faut faire pour trouver l'aire et je ne sais pas comment on trouve ces valeurs je pense qu'il y a un lien avec l'aire d'un triangle mais je ne sais pas comment faire ?!
pour la c) aucun problème

Merci de me répondre au plus vite pour les 3 première question au moins le reste se n'est pas trop grave!
Merci d'avance pour cette aide!!! :we:

par **uztop** » 31 Mai 2008, 12:09

Bonjour,

1)pour la première question, pourquoi tu dis que cn+1= 10Pn ?
Si tu regardes ta figure, tu vois qu'on remplace un côté par 4 segments (un morceau à gauche, deux côtés pour la pointe et un autre morceau à droite).
Donc quelle est la raison? Et le terme général ?
2) L'énoncé dit que la longueur de l(n+1) est égale à l(n)/3 : la raison est donc de ? Pareil, il faut aussi exprimer le terme général.
3) Tu as la longueur d'un côté l(n), le nombre de côtés P(n). Calculer le périmètre ne devrait pas poser de problème

par **kekette90** » 31 Mai 2008, 12:34

1) on a donc c(n+1)= 4Pn et une raison de 4. Se qui fait c(n)=10x 4^n.

2) pour l(n+1)= l(n)/3 donc une raison de 1/3. Donc l(n)=10x (1/3)^n.

3)pn= 3 x l(n)

par **uztop** » 31 Mai 2008, 12:58

Pour les raisons c'est juste, pas pour le terme général.
1) Combien y a-t-il de côtés au départ ?
2) Quelle est la longueur initiale d'un côté ?
3) Je comprends pas ta réponse: périmètre = longueur d'un côté * nombre de côtés (à condition que tous les côtés aient la même longueur, ce qui est le cas ici)

par **kekette90** » 31 Mai 2008, 13:57

Donc je crois que j'ai compris alors:
1) on a 3 côté au départ donc le terme général est c(n)= 3 x 4^n
2) la longueur d'un côté est 10 donc l(n)= l(n) x (1/3)^n = 10 x (1/3)^n
3)le périmètre est juste alors pn= 3 x [10 x (1/3)^n] parce que sinon je ne vois pas du tout se qu'il faut faire.
merci d'avance!

par **uztop** » 31 Mai 2008, 14:19

pour les deux premières c'est bon (pour la 2, je suppose qu'il faut lire l(n)= l(0) x (1/3)^n = 10 x (1/3)^n).
Pour la troisième question, le nombre de côtés est 3 x 4^n (et pas 3 comme tu sembles l'indiquer).
Que vaut donc le périmètre ? Et pourquoi est-ce qu'il tend vers l'infini ?

par **kekette90** » 31 Mai 2008, 14:43

alors pour 3)
pn= 3 x 4^n [ 10 x (1/3)^n]
lim c(n)= + infini
lim l(n)=+ infini donc lim p(n)= +infini
jai abrégé cn = 3 x 4^n et l(n)= 10 x (1/3)^n
donc la suite tend bien vers + infini
Est-ce juste ?

merci bcp de m'avoir aider!

par **uztop** » 31 Mai 2008, 15:03

non, la limite de l(n) n'est pas plus l'infini:
10 x (1/3)^n tend vers 0.
Par contre, Pn = 3 x 4^n [ 10 x (1/3)^n]
= 30 * (4/3)^n tend bien vers l'infini.
Petite question pour voir si tu as compris: quelle est la condition pour qu'une suite géométrique tende vers l'infini ? Et vers 0 ?

par **kekette90** » 31 Mai 2008, 15:24

lorsqu'une suite tend vers infini elle est divergente et lorsqu'elle tend vers 0 elle est convergente si je me trompe pas :peur:
Merci bcp !! :lol5:

par **uztop** » 31 Mai 2008, 15:56

euh oui mais une suite géométrique est divergente lorsque sa raison est strictement supérieure à 1:
Si r > 1 , la suite tend vers l'infini
Si r=1 , la suite est constante
Si r<1, la suite tend vers 0

Dans le cas général, une suite peut très bien être convergente et ne pas tendre vers 0.
Ici 4/3 >1, donc la suite tend vers l'infini.
Dans la dernière question, tu verras au contraire que l'aire est une suite convergente, qui ne tend ni vers 0, ni vers l'infini.

par **kekette90** » 31 Mai 2008, 17:47

Ah oui!!! aussi pour la suite convergente je n'ai pris que que le cas de +infini et 0 en fait mais pour la dernière question je vais laisser tomber jy arrive pas je ne veux pas passer encore du temps la dessus!
Mais je vous remercie de m'avoir aider j'ai bien compris !
Très bonne explication sans me donner la réponse j'ai réussi a trouver sans qu'on me mache tout le boulot !!
Merci !!! :we:

par **uztop** » 31 Mai 2008, 18:15

ah non, faut pas laisser tomber. Essaye, dis moi ou tu n'y arrives pas

par **kekette90** » 31 Mai 2008, 18:24

en fait je ne vois pas du tout le rapport avec les questions précédentes je sais pas comment montrer An mais il faut savoir la relation pour l'aire d'un polygone ou l'aire d'un triangle ?!
voila!

par **uztop** » 31 Mai 2008, 18:27

Donc en fait, si tu regardes sur ta figure, tu vois que sur chacun des côtes, tu rajoute un petit triangle. C'est un triangle équilatéral, donc tu connais la longueur des côtés, tu peux donc calculer son aire

par **kekette90** » 31 Mai 2008, 19:01

d'accord donc base multiplié par la hauteur divisé par 2
base = 10 x (1/3)^n
hauteur = ?
je voulais savoir si demain vous étiez la parce que je ne suis pas la de la soirée et je pensais continué et terminé demain !
merci !

par **uztop** » 31 Mai 2008, 19:05

je ne sais pas si je serai là demain. Aujourd'hui, j'avais pas grand chose à faire, donc j'ai joué un peu sur le pc, en regardant le forum de temps en temps. Mais bon, au pire, il y aura surement d'autre gens demain.
Pour la hauteur, ben, quelle est la hauteur d'un triangle équilatéral. Tu peux utiliser Pythagore par exemple, en sachant que la hauteur coupe le côté opposé en son milieu.
Au fait, tu peux tutoyer aussi, je n'aime pas trop qu'on me vouvoie en général, mais sur internet ça fait vraiment bizarre !

par **kekette90** » 01 Juin 2008, 13:50

Alors pour la hauteur = ;)75
donc l'air =[10;)75 x (1/3)^n] /2
Quel est le rapport avec An = An-1+ 3/4 Ao (4/9)^n ?!
Je voi pas du tout :triste:

par **uztop** » 01 Juin 2008, 13:57

bon finalement, je suis la aujourd'hui :)
Comment est ce que tu as trouvé racine de 75 ? Je ne vois vraiment pas d'où ça peut venir.

par **kekette90** » 01 Juin 2008, 14:13

jai fai le théorème de pythagore jai peu etre fait une erreur de calcul
AB²+AC²= BC²
AB²+5²=10²
AB²+25=100
AB²= 100-25
AB²= 75
AB= ;)75

par **uztop** » 01 Juin 2008, 14:14

c'est l'aire des petits triangles que tu veux calculer, il faut donc appliquer Pythagore dans les petits triangles.

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