Angles d'un triangle

[mathgaussmath]

Bonjour,

Merci de m'aider à resoudre le prob suivant:

Soit ABC un triangle.
Montrer que:

1 < cos(a)+cos(b)+cos(c) 3/2

Merci pour toute aide

[busard_des_roseaux]

Bj,

la somme des angles vaut

.

ça peut être le début.

utilise ensuite les formules de trigonométrie en respectant la symétrie entre
les mesures et

[busard_des_roseaux]

re,

Quand tu auras terminé la 1ère démonstration, en utilisant les formules de trigonométrie,tu peux essayer d'utiliser la formule d'Al-Kashi



où A,B,C sont les longueurs des côtés,

pour trouver une deuxième démonstration. :zen:

[mathgaussmath]

Merci Busard-des-roseaux .....
c'est ce que j'ai essayé de faire en fait: a+b+c= et les formules de trigonométrie :hein: .... mais pas la formule d'al-kashi, je vais voir ce que peut donner cette formules... :id:

[busard_des_roseaux]

attends, la trigo d'abord !! :hum:



factorise la somme des cosinus,

exprime avec l'arc moitié
le

ça devrait baigner.... :zen:

[busard_des_roseaux]

re,

je remonte le fil. Quand on pousse les calculs, au lieu
de se contenter de mes vagues indications, on voit que ... ça ne marche pas

- trigonométrie : c'est pas évident !
- Al-Kashi : l'expression obtenue est compliquée
- avec les nombres complexes,
ça ne marche pas vraiment non plus,


je considère donc le problème ouvert jusqu'à que quelqu'un file une démo !! :hum:

[mathgaussmath]

oui, parce qu'on fait, avant de poster, j'ai essayé tout ces outils de trigo mais :--:

[busard_des_roseaux]

pour des cas "limites" ou particuliers

s(a,b,c)=cos(a)+cos(b)+cos(c)


triangle équilatéral:

"triangle" avec deux côtés parallèles et le troisième sommet parti
à l'infini:

triangle acutangle aplati:


triangle rectangle en :


les dérivées partielles, relativement à b et c, de
s'annulent pour et
alors



donc la formule semble vérifiée..

[mathgaussmath]

:k2k: y a qlq'un :chef:

[busard_des_roseaux]

:k2k: y a qlq'un :chef:

vi,tu as avancé ? la piste complexe, la somme
des cosinus est la partie réelle



en effet,cette quantité vaut

[busard_des_roseaux]

re,

j'ai obtenu un 1er résultat, mais il tellement parcellaire,incomplet, partiel
que g un peu honte :hum: :hum:

Soit ABC un triangle acutangle (ne comportant que des angles äigüs)

on pose a=BC,b=AC,c=AB.

On abaisse la hauteur issue de A, soit [AH]
avec les cosinus, la longueur de côté s'écrit:



on calcule le périmètre



d'où en divisant par :




voilà une curieuse façon d'exprimer 1 !!

l'inégalité
équivaut à

qui est trivialement vérifiée si le triangle ABC est acutangle.

[oscar]

Personne ne trouve vraiment
On démontre que cos A + cos B + cos C = 1+4sinA/2 sinB/2 sinC/2 donc >1

On doit avoir 1+4sinA/2 sinB/2 sinC/ 2 <= 3/2
<=> 4sinA/2 sinB/2 sin C/2 <= 1/2
et même sin A/2 sinB/2 sinC/2 <= 1/8 A démontrer !!!!!

Avec A/2 + B/2 + C/2 = pi/2

[busard_des_roseaux]

re,

rem: un triangle acutangle n'a que des angles aigüs.

la fonction est convexe sur

l'inégalité de Jansen donne



soit



L'encadrement


est donc démontré si ABC est un triangle acutangle.
reste le cas où l'un des angles du triangle ABC est obtû.