Exercices sur les homotheties

[tsukindustries]

Bonjour, et merci d'avance de votre aide sur cet exercice sur les homotheties.

Soit un triangle.
On considere les points ,et definis pas :
, , .

Les droites et se coupent en un point et les droites et se coupent en un point .

1) Faire une figure
(Je ne peux vous la montrer, normal )

2) Demontrer, en utilisant une homothetie, que le point est le barycentre de et

JE suis desole je ne vois pas comment commencer a par :



Merci d'avance!

[uztop]

Bonsoir,

la formule que tu donnes est juste, mais ce n'est pas comme ça qu'il faut démarrer ici.
Il faut utiliser la propriété suivante : l'homothétie conserve le barycentre.
Est ce que tu arrives à voir une homothétie qui lie le segment JI et le segment BC ? Quel est son centre et quel est son rapport ?

[tsukindustries]

Merci infiniment de votre reponse!

Dois-je donc d'abord demontrer le parallelisme entre les deux droites?

On sait que :
- Deux droites (IC) et (BJ) secantes en A
- I,O,C et J,O,B sont alignes dans le meme ordre

Mais comment peut-on connaitre ces rapports?

[uztop]

Pour monter que les deux droites sont parallèles, tu peux utiliser le fait que J est l'image de C par l'homothétie de centre A et de rapport 2/5 et I est l'imag de B par la même homothétie.
Pour démontrer que G est le barycentre de (J,2) ; (I,1), il faut considérer une homothétie de centre O qui associe le segment [BC] au segment [IJ] ; quel et son raport ? Quelle est l'image de K ?

[tsukindustries]

D'accord Merci beaucoup!

J'ai un peu reflechi et essaye de faire au propre ce que j'ai pu trouver :





Les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
Il existe donc une homothetie h' de centre O qui transforme I en C.

S'il existe une homothetie g de centre O qui transforme J en un point, alors les 3 points seraient alignes.
L'image de (IJ) par cette homothetie g est une parallele a cette droite qui passerait par l'image de J par cette homothetie.
Il existe donc une homothetie g de centre O qui transforme J en B.

S'il existe une homothetie g' de centre O qui transforme I en un point, alors les 3 points seraient alignes.
L'image de (IJ) par cette homothetie g' est une parallele a cette droite qui passerait par l'image de I par cette homothetie.
Il existe donc une homothetie g de centre O qui transforme I en C.

Est ce bon?
J'ai l'impression que ce n'est pas faux, mais tres mal redige, non?

Que dois je ensuite faire si c'est bon?

[uztop]

oui, pour dire qu'il existe une homothétie de centre O qui associe B à J et C à I, il suffit de dire
- que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles (on vient de le démonter)
- que le point O se trouve à l'intersection de (CI) et (JB) (ce qui est vrai par définition)

Ensuite, on sait que l'homothétie conserve le barycentre. Est ce que tu peux exprimer K en tant que barycentre de B et C ? Qu'est ce que tu peux en conclure ?