DM sur les homothéties et les fonctions

[argent2000]

Bonsoir,

J'aurais besoin d'aide pour ces exercices (ou parties d’exercices) SVP car dans mon DM, ce sont les deux que je n’arrive pas à faire…

EX 1:

K ;) 0 désigne un réèl. A, B, C sont 3 points alignés du plan, on lui associe le point M’ vérifiant :
(vecteurs) M’A + 2 M’B + M’C + M’M = 0
1) Construire G = bar { (A ; 1), (B ; 2), (C ; 1) }
2) Justifier que la relation liant M et M’ peut s’écrire (4+k) M’G + k GM = 0
3) Justifier que pour k ;) -4, M’ est l’image de M par une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.
4) Justifier que pour k = -4, M’ est l’image de M par une translation dont on précisera la valeur



EX 2 :

Soit f(x) = (x-1) / (x²-2x+3) définie sur [-2 ;4]. On note C la courbe de f dans le repère orthonormal (O ;i ;j)
1) Justifier que la fonction f est effectivement définie sur [-2 ;4] et qu’elle est dérivable sur cet intervalle. Calculer f’(x). Déterminer le sens de variation de f sur [-2 ;4]. Dresser le tableau de variation de f sur [-2 ;4]. Préciser les extremum et indiquer s’ils sont absolus ou relatifs.
2) Pour tout réel x ;) [-2 ;4], calculer f(x) + f(2-x). En déduire que le point I (1,0) joue un rôle particulier pour la courbe C.
3) Soit T la tangente à la courbe C au point I. Donner l’équation réduite de cette tangente sous la forme y = t(x)
4) Déterminer le signe f(x)-t(x) selon les valeurs de x ;) [-2 ;4]. En déduire la position de la courbe C par rapport à sa tangente T.
5) Tracer avec soin la courbe C et sa tangente T au point I.


Merci d’avance à tous ceux qui prendront le temps de me répondre !!
Bonne soirée

[Florélianne]

Bonjour,

remarque : les vecteurs sont soulignés
k 0 désigne un réel. A, B, C sont 3 points alignés du plan, et M un point quelconque ? on lui associe le point M’ vérifiant :
M’A + 2 M’B + M’C + M’M = 0
donc MM' = M’A + 2 M’B + M’C
1) Construire G = bar { (A ; 1), (B ; 2), (C ; 1) }
par définition on sait que pour point M du plan :
(1+2+1) MG = MA + 2MB+MC
pour construire G remplaçons M par A : 4 AG = 2AB+AC

2) Justifier que la relation liant M et M’ peut s’écrire (4+k) M’G + k GM = 0
M' est un point du plan donc 4 M'G = M'A + 2M'B+M'C
donc 4 M'G =MM' ou 4 M'G =MG + GM'
4 M'G -MG - GM' = 0 4 M'G +GM +M'G = 0
(4+1)M'G + 1 GM = 0
donc la relation peut s'écrire :
(4+k) M’G + k GM = 0 avec k=1

3) Justifier que pour k -4, M’ est l’image de M par une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.
il y a quelque chose qui ne va pas... quelque chose dans l'énoncé? ... parce que k=1 donc k -4
(4+1)M'G + 1 GM = 0 GM =-5 GM' GM'= -(1/5)GM
donc M' est l'image de M par l'homothétie de centre G de rapport -1/5
en généralisant :
M' est l'image de M par l'homothétie de centre G de rapport -k/(4+k)


4) Justifier que pour k = -4, M’ est l’image de M par une translation dont on précisera la valeur
(4+k) M’G + k GM = 0 si k=-4 on a -4GM = 0 GM = 0
GM' + M'M = 0 MM'= GM
M' est l'image de M dans la translation de vecteur GM

Je ne suis pas satisfaite, cet exercice n'a pas de sens...
En toute cordialité