Triangle dans un carré

par **Imod** » 16 Jan 2009, 23:16

Bonsoir :we:

Il y a quelque temps emdro nous avait donné quelques problèmes avec des points dans des carrés carré , carré , encore carré , toujours carré

En voici un autre , pas aussi simple qu'il en a l'air et que j'aime bien :doh:

On se donne 10 000 points dans un carré de côté 99 . Montrer que l'on peut choisir un triangle d'aire inférieure ou égale à 1/2 dont les sommets sont trois de ces points ( on considère que trois points alignés forment un triangle d'aire nulle ) .

Bon courage !!!

Imod

par **Imod** » 17 Jan 2009, 12:22

Un premier indice : ne pas chercher de tiroir , pigeon , chaussette ... :we:

Imod

par **Imod** » 18 Jan 2009, 12:10

Deuxième indice :we:

On envisage l'enveloppe convexe des points dans le carré et en fonction du nombre de sommets de cette enveloppe on peut par des considérations d'aire et de périmètre , trouver deux "petits" triangles :doh:

Imod

PS : j'ai modifié le message original , il manquait un zéro :marteau: :marteau: :marteau:

par **Imod** » 20 Jan 2009, 19:08

Troisième indice :

On effectue un pavage d'un polygone convexe à n côtés en triangles dont les sommets sont k points strictement à l'intérieur de ce polygone , combien ce pavage contient-il de pièces ???

Bien sûr , aucun triangle ne contient un des k points en son intérieur et trois de ces points ne sont jamais alignés .

Imod

par **Imod** » 21 Jan 2009, 19:02

J'ai un peu (beaucoup ) l'impression de parler tout seul mais bon :zen:

Quatrième indice ( avec les même hypothèses que pour l'indice précédent ) : quelle borne supérieure peut-on obtenir pour l'aire des triangles formés avec trois sommets consécutifs de l'enveloppe convexe ?

Imod

PS : Si personne ne répond , je donne le schéma détaillé de la démonstration mais l'exercice perdra alors beaucoup de son intérêt :cry: Je vous demande un peu de confiance , les moyens utilisés sont très élémentaires mais la mécanique sous-jacente vraiment impressionnante d'efficacité et réellement jolie :help:

par **Imod** » 25 Jan 2009, 23:43

Pour ceux qui voudraient connaitre le fin mot de l'histoire Maths.net :zen:

Imod

par **nodgim** » 29 Jan 2009, 18:58

Imod a écrit:Bonsoir :we:

Il y a quelque temps emdro nous avait donné quelques problèmes avec des points dans des carrés carré , carré , encore carré , toujours carré

En voici un autre , pas aussi simple qu'il en a l'air et que j'aime bien :doh:

On se donne 10 000 points dans un carré de côté 99 . Montrer que l'on peut choisir un triangle d'aire inférieure ou égale à 1/2 dont les sommets sont trois de ces points ( on considère que trois points alignés forment un triangle d'aire nulle ) .

Bon courage !!!

Imod

Euh, j'ai rêvé ou j'ai vu 1000 points il y a quelque temps ??? :hum:

par **Imod** » 29 Jan 2009, 23:32

nodgim a écrit:Euh, j'ai rêvé ou j'ai vu 1000 points il y a quelque temps ??? :hum:

Imod a écrit:PS : j'ai modifié le message original , il manquait un zéro :marteau: :marteau: :marteau:

J'ai corrigé depuis un bon moment mais , encore désolé pour la faute de frappe .

Imod

par **lapras** » 30 Jan 2009, 08:15

Wahou cette solution est astucieuse !

par **nodgim** » 30 Jan 2009, 17:41

Imod a écrit:J'ai corrigé depuis un bon moment mais , encore désolé pour la faute de frappe .

Imod

C'est Ok, je l'avais pourtant relu, tant ça me semblait suspect, mais bien sûr avant ton rectificatif.
10 000 ça devient intuitivement évident. Je vais chercher si on ne peut pas faire mieux.
PS: je n'arrive pas à ouvrir le lien. :cry:

par **Imod** » 30 Jan 2009, 18:33

nodgim a écrit:PS: je n'arrive pas à ouvrir le lien.

Le site Les-Mathématiques.net a quelques problèmes en ce moment , j'espère que c'est passager , sinon je recopierai la solution :we:

Imod

Triangle dans un carré

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