Deux cercles dans un carré

par **chan79** » 11 Avr 2013, 18:49

Bonjour
ABCD est un carré de côté 1
Où faut-il placer le point E sur [AD] pour que la droite (CE) soit tangente aux deux cercles de même rayon ? (donner la valeur exacte de DE).
Il y a un peu de calcul ... (à moins que quelque chose d'évident ne m'ait échappé)

par **adrien69** » 11 Avr 2013, 19:18

J'appelle L=(1-y,2r) le point qui intersecte ta droite en plein milieu. E=(0,y)

On doit avoir les vecteurs

et

qui sont colinéaires.
Ça nous mène à

et x=0

Sauf erreur bien sûr.

par **chan79** » 11 Avr 2013, 20:35

adrien69 a écrit:J'appelle L=(1-y,2r) le point qui intersecte ta droite en plein milieu. E=(0,y)

On doit avoir les vecteurs et qui sont colinéaires.
Ça nous mène à et x=0

Sauf erreur bien sûr.

salut
le problème, c'est de trouver la valeur exacte de la distance DE. :zen:

par **adrien69** » 11 Avr 2013, 21:23

Bah je viens de trouver AE en fonction du rayon du cercle, tu ne vas pas m'embêter avec une histoire de 1-bidule ? :p

par **Lostounet** » 11 Avr 2013, 21:51

Yo ! Je suis un grand fan de tes problèmes de géométrie !

En tenant compte des tangences, nous pouvons ramener l'étude à la résolution du système non linéaire suivant (dans le repère orthonormé apparent):

(Cm): (x - R)² + (y - R)² = R²

(Cn): (x - R)² + (y - 1 + R)² = R²

(EC): y = (1 - e)*x + e

Avec e l'ordonnée du point E. En utilisant la relation trouvée par Adrien:

e = (2R - 2)/(2R - 1), il faut donc trouver pour quelles valeurs de R ce système admet un couple solution unique !..

par **adrien69** » 11 Avr 2013, 22:08

Aaaaaaah !!! Ça peut ne pas avoir de solution !!!! Je pensais qu'on pouvait en avoir une pour tout r ! :mur:

par **adrien69** » 11 Avr 2013, 22:11

Là je me dis qu'il faut soustraire Cn et Cm, ce qui donnera après simplification et remplacement de y au point de tangence un polynôme en R. Ça doit bien se résoudre.

par **Lostounet** » 11 Avr 2013, 22:14

Je n'ai rien dit ! Bon, par soustraction et substitution nous arrivons à:

...?

par **Imod** » 11 Avr 2013, 23:33

Bonsoir

Le calcul de AE en fonction de r est en effet assez simple :

et je pense qu'un seul rayon convient mais son son calcul ne semble pas complètement évident .

Je verrai ça ce week-end si le problème est encore ouvert .

Imod

par **Doraki** » 11 Avr 2013, 23:41

le diamètre du cercle inscrit d'un triangle rectangle de cotés a et b et d'hypothénuse c est a+b-c,
donc en appelant d le diamètre du cercle inscrit de DCE et x la distance DE,
d = 1+x-sqrt(1+x²)

En outre par symétrie, la longueur du segment noir dans ce triangle vaut 1-x, et d'après le théorème de thalès on a donc x*(1-d) = (1-x)*1.
Donc x*(sqrt(1+x²)-x) = 1-x
Donc x*sqrt(1+x²) = 1-x+x², et en mettant au carré on obtient 1-2x+2x²-2x3 = 0

Soit x ~= 0.647799... (non constructible à la règle et au compas)

par **chan79** » 12 Avr 2013, 09:31

Doraki a écrit:le diamètre du cercle inscrit d'un triangle rectangle de cotés a et b et d'hypothénuse c est a+b-c,
donc en appelant d le diamètre du cercle inscrit de DCE et x la distance DE,
d = 1+x-sqrt(1+x²)

En outre par symétrie, la longueur du segment noir dans ce triangle vaut 1-x, et d'après le théorème de thalès on a donc x*(1-d) = (1-x)*1.
Donc x*(sqrt(1+x²)-x) = 1-x
Donc x*sqrt(1+x²) = 1-x+x², et en mettant au carré on obtient 1-2x+2x²-2x3 = 0

Soit x ~= 0.647799... (non constructible à la règle et au compas)

Bravo !
En écrivant de deux façons l'aire de chacun des triangles CDE et CEA, j'arrive à la même équation:
2x³-2x²+2x-1=0
Si on n'a rien de plus urgent à faire, on peut s'amuser à calculer la valeur exacte:
on pose x=y+

pour arriver à

la méthode de Cardan permet d'arriver à :

J'avais prévenu, il y avait un peu de calcul pour parvenir à la valeur exacte :zen:

par **Lostounet** » 12 Avr 2013, 13:35

Bizarre... Je ne trouve pas la même chose...

J'ai considéré le système paramétré suivant:

(x - R)² + (y - R)² = R² ~~ Equation d'un cercle
y = x/(2R -1) + (2R - 2)/(2R-1) ~~ Equation de la droite

En imposant l'unicité de la solution (car tangente), j'ai imposé sur R:

R ~ 0.2439...

Il me semble qu'il suffit d'imposer ces contraintes pour retouver la valeur du rayon. Mais je ne suis pas très sur ! Merci de m'aider.

par **chan79** » 12 Avr 2013, 14:00

Lostounet a écrit:Bizarre... Je ne trouve pas la même chose...

J'ai considéré le système paramétré suivant:

(x - R)² + (y - R)² = R² ~~ Equation d'un cercle
y = x/(2R -1) + (2R - 2)/(2R-1) ~~ Equation de la droite

En imposant l'unicité de la solution (car tangente), j'ai imposé sur R:

R ~ 0.2439...

Il me semble qu'il suffit d'imposer ces contraintes pour retouver la valeur du rayon. Mais je ne suis pas très sur ! Merci de m'aider.

C'est sans doute l'équation de la droite (CE) qu'il faut revoir. Elle passe par le point (R,1/2)
J'ai:

par **Lostounet** » 12 Avr 2013, 14:08

Pourquoi ?!

J'ai noté C(1;1) et E(0;e) ... Pourquoi passerait-elle par (R;1/2) ?

par **chan79** » 12 Avr 2013, 14:14

ISFQ est un parallélogramme car il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur R.
P est le milieu de [FI] donc de [HG]
Ta méthode doit marcher mais il peut y avoir beaucoup de calculs.
Pour info, R est environ égal à 0.22815549

par **Lostounet** » 12 Avr 2013, 14:18

Je trouve R négatif cette fois :/ Il faudrait reprendre les calculs !

par **chan79** » 12 Avr 2013, 15:14

Lostounet a écrit:Je trouve R négatif cette fois :/ Il faudrait reprendre les calculs !

Ca mène à ça ...

par **adrien69** » 12 Avr 2013, 15:54

chan79 a écrit:Ca mène à ça ...

R=1 est une solution "évidente" d'ordre deux : tu mets X-1 en facteur, tu dérives. Tu regardes en X=1, donc en fait tu mets deux fois X-1 en facteur, et je suppose qu'après ça nous redonne la solution ?

par **Lostounet** » 12 Avr 2013, 16:02

Je trouve R ~ 0.288 ?

En prenant (R - 1)^2 en facteur, nous arrivons à du troisième degré, par identification... Puis avec une transformation de Tschirnhaus, et les formules de Cardan, nous pouvons extraire la racine...

par **chan79** » 12 Avr 2013, 16:30

Lostounet a écrit:Je trouve R ~ 0.288 ?

En prenant (R - 1)^2 en facteur, nous arrivons à du troisième degré, par identification... Puis avec une transformation de Tschirnhaus, et les formules de Cardan, nous pouvons extraire la racine...

tu devrais arriver à 0.22815549...
On peut retrouver cette valeur à partir de DE avec l'égalité mentionnée plus haut par Doraki

Elle se met sous la forme:

Deux cercles dans un carré

deux cercles dans un carré

Qui est en ligne