Caractérisation des applications linéaires

[Anonyme]

Bonjour

Soit E espace euclidien
Soit phi une forme linéaire
Alors il existe un unique vecteur a de E tel que phi(x)=x|a
Je n'arrive pas a établir la démonstartion

Ce que j'ai déja fait:
unicité: x|a=x|b ==> x|a-b=0 ==> a-b appartient à E orthogonal ==> a=b
ok

existence
je pensais montrer que phi et x|a ont même noyau, un hyperplan donc qu'elles
sont proportionnelles et la c'est bon mais je n'y arrive pas.
Le noyau de x|a, c'est l'orthogonal de . Et après?


J'ai vu une démonstration avec le dual mais je ne l'ai pas comprise, si
quelqu'un la connait et pourrait me l'expliquer avec les mains...

Merci beaucoup

[Anonyme]

Bonjour

> Soit E espace euclidien
> Soit phi une forme linéaire
> Alors il existe un unique vecteur a de E tel que phi(x)=x|a
> Je n'arrive pas a établir la démonstartion
>

L'application (linéaire):

f: E -> E*
a -> (x->)

est injective (car le produit scalaire est défini), avec dim(E) = dim(E*).
Donc f est bijective (f isomorphisme).

--
JS