Applications continues

[Anonyme]

Bonjoour,

Je sais comment est définie une application linéaire:

f(a+b) = f(a) + f(b)
f(k*a) = k * f(a)

Et en général, j'applique ça à (pour faire simple):
"Montrer que f(x) = 2*x + 3 est linéaire."

Mais là, je dois répondre à un énoncé que je trouve peu clair.

Sur l'espace des fonctions continues sur [a,b], indiquer si les
applications suivantes sont linéaires:

f -> f(a)
f -> f(a) + 1
f -> f(a+1)
f -> int(a,b)[f(x)]dx
f -> int(a,b)[abs(f(x))]dx
....

Je sais (ça a été fait en ED en début d'année) que les réponses sont
respectivement:

oui
non
oui
oui
non
....

Pour la première application, je comprend:
f(x) = f(a) quel que soit x
donc
f(x1) = f(a)
f(x2) = f(a)
f(x1+x2) = f(a)

Donc, non linéaire... réponse inverse de la supposée bonne réponse.
Je dois donc mal comprendre l'énoncé.

Merci de me dire comment vous le comprenez !

[Anonyme]

"Oodini" a écrit dans le message de news:
420e209e$0$517$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjoour,
>
> Je sais comment est définie une application linéaire:
>
> f(a+b) = f(a) + f(b)
> f(k*a) = k * f(a)
>
> Et en général, j'applique ça à (pour faire simple):
> "Montrer que f(x) = 2*x + 3 est linéaire."

f(x) = 2*x + 3 n'est pas linéaire
f(a+b) f(a) + f(b)
exemple f(0+2)=f(2)f(0)+f(2)

[Anonyme]

jojolapin a écrit :
> "Oodini" a écrit dans le message de news:
> 420e209e$0$517$626a14ce@news.free.fr...
>[color=green]
>>Bonjoour,
>>
>>Je sais comment est définie une application linéaire:
>>
>>f(a+b) = f(a) + f(b)
>>f(k*a) = k * f(a)
>>
>>Et en général, j'applique ça à (pour faire simple):
>>"Montrer que f(x) = 2*x + 3 est linéaire."
>
>
> f(x) = 2*x + 3 n'est pas linéaire
> f(a+b) f(a) + f(b)
> exemple f(0+2)=f(2)f(0)+f(2)[/color]

Oui, je sais, moi aussi je rédige mal... :-/

J'avais mis cet exemple pour dire qu'avec un problème posé comme cela,
je SAVAIS montrer qu'elle n'etait pas linéaire.

[Anonyme]

Oodini a écrit :
> Bonjoour,
>
> Je sais comment est définie une application linéaire:
>
> f(a+b) = f(a) + f(b)
> f(k*a) = k * f(a)
>
> Et en général, j'applique ça à (pour faire simple):
> "Montrer que f(x) = 2*x + 3 est linéaire."

Correction:
"Indiquer si f(x) = 2*x + 3 est linéaire."

[Anonyme]

Oodini a couché sur son écran :
> Sur l'espace des fonctions continues sur [a,b], indiquer si les applications
> suivantes sont linéaires:
> f -> f(a)
[...]
> Pour la première application, je comprend:
> f(x) = f(a) quel que soit x

Non.
f -> f(a) est l'application qui, a une application f continue sur [a,b]
(f est à valeurs dans lR ?) associe la valeur de f en a.
Si on note F cette application :
F va de C( [a,b], lR ) dans lR,
et F(f) = f(a).
Cette application est linéaire car :
si f et g sont dans C( [a,b], lR ), alors
F(f+g) = (f+g)(a) = f(a)+g(a) = F(f)+F(g)
et pour lambda dans lR,
F(lambda.f) = (lambda.f)(a) = lambda.(f(a)) = lambda.F(f).

[Anonyme]

Oodini avait écrit le 12/02/05 :
> Pour la première application, je comprend:
> f(x) = f(a) quel que soit x
> donc
> f(x1) = f(a)
> f(x2) = f(a)
> f(x1+x2) = f(a)

Avec plus de rigueur, tu ne pouvais pas faire cette erreur.
Tu écris "quel que soit x"... bof !

Quelque soit x polynôme à coefficients dans Q ?
Quelque soit x ensemble non-vide ?
Bon, il s'agit de : quelque soit x dans [a,b].
Même chose pour x1 et x2.
Mais alors :
quelque soient x1 et x2 dans [a,b],
x1+x2 est-il dans [a,b] ? et cela a-t-il donc du sens d'écrire f(x1+x2)
?

[Anonyme]

Romain M a écrit :
[color=green]
>> Pour la première application, je comprend:
>> f(x) = f(a) quel que soit x
>
> Non.
> f -> f(a) est l'application qui, a une application f continue sur [a,b]
> (f est à valeurs dans lR ?) associe la valeur de f en a.
> Si on note F cette application :
> F va de C( [a,b], lR ) dans lR,
> et F(f) = f(a).
> Cette application est linéaire car :
> si f et g sont dans C( [a,b], lR ), alors
> F(f+g) = (f+g)(a) = f(a)+g(a) = F(f)+F(g)
> et pour lambda dans lR,
> F(lambda.f) = (lambda.f)(a) = lambda.(f(a)) = lambda.F(f).[/color]

Merci, c'est exactement ce dont j'avais besoin.

[Anonyme]

Romain M a écrit :

> Avec plus de rigueur, tu ne pouvais pas faire cette erreur.
> Tu écris "quel que soit x"... bof !

Et encore, j'ai fait un effort.

> Quelque soit x polynôme à coefficients dans Q ?
> Quelque soit x ensemble non-vide ?
> Bon, il s'agit de : quelque soit x dans [a,b].
> Même chose pour x1 et x2.
> Mais alors :
> quelque soient x1 et x2 dans [a,b],
> x1+x2 est-il dans [a,b] ? et cela a-t-il donc du sens d'écrire f(x1+x2) ?

Il est vrai qu'en maths, il faut savoir rendre l'implicite explicite...