Exercice 1: Autour de 2pi/5 et pi/5
A.Methode géométrique : triangle d'or
Voici l'ennoncée
ABC est un triangle isocele de sommet A avec (angle B)=(angle C)=72° et BC=1. LA bissectrice de l'angle (angle b) coupe [CD] en D.
ON pose AB=AC=T
question partie A
1 vérifier que 72° correspondent à 2pi/5 radians
2.a MOntrer que les triangles BDC et ABC sont semblables.
b. En deduire que 1/T=T-1; caculer T.
3. EN utilisant le triangle ABC, montrer que cos 72°= ((racine de 5)-1)/(4)
4. En utilisant le triangle ABC,montrer que cos 36° =((racine de 5)+1)/(4)
B. Méthode algébrique
On pose x=cos pi/5 et y= sin pi/5
1 Exprimer cos 2pi/5 et sin2pi/5 en fonction de x et de y.
2. En remarquant que 3pi/5=2pi/5+pi/5, établir que sin 3pi/5=y(4x²-1)
3. MOntrer que sin 3pi/5=sin 2pi/5 et en déduire que 4x²-2x-1=0
4. En déduire cos pi/5,sin pi/5, cos 2pi/5 et sin 2pi/5
C. APplication a la construction d'un pentagone régulier
LE cercle representé est le cercle trigonométrique.
On a (OA) perpendiculaire (OB) et vecteur OP =-1/2 vecteur OA.
Le cercle de centre P passant par B coupe le segment [OA] en J. La médiatrice de [OJ] coupe le cercle trigo en M,M en A et B.
questions
1 calculer les longueurs PB,OJ et OC .
2.EN utilisant la partie B , determiner une mesure de L'angle (vecteurs OA,OM)
3. En deduire la construction d'un pentagone regulier .
ps: LA figure avec le triangle ABC se rattache a la partie A
et l'autre avec le cercle a la partie C