Limite d'une suite rationnel

[leon1789]

soit f la fonction de R ds R def par:

si x irrationnel f(x)=0
si x rationnel et x=p/q avec p appartient à z et q à N* et pgcd(p q)=1 , f(x)=1/q

Quelqu'un peut-il confirmer que cet exemple est dû à Dixon ? en 1991 ??

[Nightmare]

Je ne vois pas en quoi c'est de l'artillerie lourde de dire que la fonction est continue presque partout donc R-intégrable !
Ensuite, Riemann-intégrable sur quoi? On va prendre [0,1] par exemple.

Bref, sans ça :

Fixons , il y a au plus n rationnels tels que

en notant S et s les sommes respectivement supérieures et inférieures, en sommant sur des intervalles qui contiennent les n points puis sur ce qu'il reste, on trouve :
.

en plus s=0 donc S tend vers 0. Conclusion la fonction est R-intégrable sur [0,1] d'intégrale nulle.

[ThSQ]

l'artillerie lourde.

C'est de l'artillerie lourde au sens que ça détruit tout sans discernement !

[Nightmare]

Ou au contraire, ça simplifie tout... Après tout un si beau théorème, pourquoi s'en priver? Lebesgue en serait contrarié!

[ThSQ]

Euh,moi je peux en donner en donner l integrale de Lebesgue en tout cas lol(de toute facon l integrale de Riemann ca sert a rien :ptdr: )
autre exo:montrer que f est limite simple de fonctions continues

Tsss, c'est dingue le nombre d'incompétents stupides sur ce forum :++:


On peut construire une limite d'une suite de fonctions continues comme ça :

rationnels de [0;1] = {x_k}
puis f_n = nulle partout sauf en x1 .. xn (avec la valeur ad-hoc) et, par exemple, n dents de scie assez fines pour ne pas se recouvrir (possible car on a un nombre fini de points.
Pour le même prix f = limite de fonctions C°°


Tiens d'ailleurs, la valeur en xn n'a pas d'importance. Je propose la variante :

- Si rationnels de [0;1] = {x_k} on pose f(x_k) = 1/k et 0 sinon
- f est C° seulement sur les irrationnels
- f est limite simple de fonctions continues

[ThSQ]

Après tout un si beau théorème

Je suis bien d'accord, superbe.
Juste qu'il trivialise l'exo.

[quinto]

Les deux méthodes sont intéressantes, mais elles ne sont pas adaptées nécessairements aux mêmes besoins ...