Limite d'une suite rationnel

[Krys933]

Bonjour à tous,

J'ai un soucis avec cette question :

soit x appartenant à R\Q
soit (pn/qn) (n sup ou egal à 1) une suite de rationneles avec pn appartenant à Z et qn à N*, pgcd(pn,qn)=1, démontrer que:

si pn/qn tend vers x alors qn tend vers +l'infini

element de reflexion:
il faut raisonner par l'absurde en supposant (qn) bornée
mais je n'arrive pas à le faire.....:s

si vous pouviez m'expliquer

merci d'avance.

[Nightmare]

Salut :happy3:

Oui par l'absurde ça marche bien !

On suppose que ne tend pas vers +oo.

A partir d'un certain rang, on peut la majorer par un certain M. L'idée est de retirer les termes qui sont au dessus de M.

On considère donc une suite extraire qui soit majorée par M pour tout n.

On a donc une suite d'entier majorée. On peut donc retirer encore des termes pour en faire une suite constante.

Soit donc la suite extraite constante égale à k.

On a alors

Mais une suite d'entier qui converge est stationnaire (je te laisse le soin de vérifier cette petite propriété) donc à partir d'un certain rang,

On en déduit donc qu'à partir de ce même rang,

Mes les sont rationnels, donc x aussi. Contradiction.

:happy3:

[ffpower]

meme pas besoin que pn et qn soient premiers entre eux en fait lol

[SimonB]

Quel est le réflexe naturel (je devrais dire bestial) quand tu as une suite bornée ?

[EDIT : Nightmare a déjà donné la solution. A mon avis, d'ailleurs, il en dit un peu trop, c'est un exo intéressant à faire en soi en sup et le but de ce forum n'est pas de faire des exos, mais bon ]

[Nightmare]

Non en effet, cette hypothèse n'est pas utile (je sais pas pourquoi elle est là d'ailleurs, peut être histoire de dire qu'on considère une suite de rationnels irréductibles)

[ffpower]

Non en effet, cette hypothèse n'est pas utile (je sais pas pourquoi elle est là d'ailleurs, peut être histoire de dire qu'on considère une suite de rationnels irréductibles)

A mon avis c est une question intermediaire pour l exo:soit f(x)=1/qn si x=pn/qn avec pn et qn premiers entre eux,et f(x)=0 si x est irrationnel.Etudier les points de continuité de f..

[Nightmare]

SimonB > Krys933 a demandé qu'on lui explique le raisonnement, ce que j'ai fait. Il m'aurait demandé une piste, je lui aurais fourni une piste.

De toute manière, en sup il est assez grand pour savoir que se contenter d'une solution toute faite est inutile, je compte donc sur lui pour retravailler seul cet exercice.

[SimonB]

De toute manière, en sup il est assez grand pour savoir que se contenter d'une solution toute faite est inutile, je compte donc sur lui pour retravailler seul cet exercice.

Certes, il devrait être assez grand, mais j'ai croisé un bon nombre d'élèves (même en spé) qui ne comprenaient pas ça.

Bref, ça n'est pas si grave.

[SimonB]

De toute manière, en sup il est assez grand pour savoir que se contenter d'une solution toute faite est inutile, je compte donc sur lui pour retravailler seul cet exercice.

Normalement oui. Dans ma scolarité j'ai croisé plusieurs élèves de spé qui ne comprenaient pas ça...

Bref, c'est pas si grave.

[Nightmare]

Certes, il devrait être assez grand, mais j'ai croisé un bon nombre d'élèves (même en spé) qui ne comprenaient pas ça.

Bref, ça n'est pas si grave.

Auquel cas, ce n'est donc pas le correcteur qu'il faut blâmer mais l'élève... D'où le fait que je sois contre cette pseudo-règle sur le forum.

[SimonB]

Auquel cas, ce n'est donc pas le correcteur qu'il faut blâmer mais l'élève... D'où le fait que je sois contre cette pseudo-règle sur le forum.

C'est parce que tu ne fais pas de la pédagogie "de masse". Suppose que tu es prof dans une classe quelconque : tu donnes les corrigés de tous les exos que tu distribues en cours, en avertissant bien au début de l'année que ça ne sert à rien. Et puis tu te rends compte que les élèves ne progressent pas bien, qu'ils n'appliquent pas le conseil qu'on leur donne, même répété (je suis persuadé que c'est le cas dans quasiment toute classe dans le secondaire et même au moins en sup pour un nombre non négligeable d'élèves). Alors, réaction naturelle : tu arrêtes de distribuer des corrigés de tous les exos (et tu attends qu'on vienne te demander des explications).

Là, c'est pareil, me semble-t-il. Mais bien sûr, je comprends ta position ! :happy2:

[Nightmare]

Ce n'est pas pareil ici.

On est pas devant une classe mais devant un seul élève qui, qui plus est, a déjà cherché son exo ! C'est normal de donner une correction à un élève qui a cherché et qui bloque non?

Cependant je suis d'accord pour ne pas donner une correction toute faite à un élève qui n'a donné aucun signe de recherche, et tu remarqueras dans mes messages que je ne le fais jamais.

Amicalement :happy3:

[Krys933]

hum merci pour tous ces post, pour répondre à la mini polémique, je voulais un raisonnement parce que j'ai cherché cet exo et bon je ne voyais pas la marche à suivre, donc autant voir le raisonnement une fois quitte çà perdre l'exo , j'en retrouverai bien un du même type sur lequel je reflechirai seul ....

en effet il y a une suite à la question..

j'ai soit f la fonction de R ds R def par:

si x irrationnel f(x)=0
si x rationnel et x=p/q avec p appartient à z et q à N* et pgcd(p q)=1 , f(x)=1/q

je dois étudier la continuité de f

element de réflexion:
-il faut utiliser la densité de Q et de R\Q dans R pour le cas ou X est irrationnel:
si f(x)=0 quand x irrationel f(x)=0 entre deux rationnel (jai du mal à exprimer ma pensée^^)
- je ne comprend pas trop le ET x=p/q (normalement tout ratio n'est il pas sous cette forme)?

merci d'avance..

[Nightmare]

Re :happy3:

déjà, est-ce que f est continue en les rationnels? Pour les irrationnels, utilise l'exercice précédent, c'est direct.

[ThSQ]

Tiens puisque certains aiment bien l'intégrale de Riemann, mq que f est Riemann-intégrable (sans artillerie lourde style mesure (points de non-C°)=0) et donner son intégrale.

[Krys933]

euh pour la continuité de f en les rationnel je ne sais pas ....
pour ThSQ je ne connais pas ce théorème..

[Krys933]

Hum quelqu'un pourrait il me montrer le raisonnonement svp

merci d'avance

Krys933

[Doraki]

Ben y'a pas de secret faut utiliser la définition de la continuité..

Tu prends un rationnel r = p/q avec pgcd(p,q)=1.

Soit tu essayes de montrer que f est continue en r :
que pour tout voisinage U de f(r) = 1/q, il existe un voisinage de r dont l'image par f est incluse dans U ;
ou (c'est équivalent), que pour toute suite de réels xn qui tend vers r, la suite f(xn) tend vers f(r) = 1/q

Soit tu essayes de montrer que f n'est pas continue en r :
qu'il existe un voisinage U de f(r) tel que pour tout voisinage V de r, f(V) n'est pas inclus dans U ;
ou (c'est équivalent) qu'il existe une suite de réels xn qui tend vers r telle que la suite f(xn) ne tend pas vers f(r)


Je sais pas tu peux regarder des voisinages de f(r) particuliers, comme ]1/(q+1) ; 1/(q-1)[ et regarder son image réciproque par f ;
ou bien prendre ta suite préférée qui tend vers r comme xn = (r + 1/(q*n)) ou bien xn = (r + pi/n) pour voir ce que ça donne.

[ffpower]

Tiens puisque certains aiment bien l'intégrale de Riemann, mq que f est Riemann-intégrable (sans artillerie lourde style mesure (points de non-C°)=0) et donner son intégrale.

Euh,moi je peux en donner en donner l integrale de Lebesgue en tout cas lol(de toute facon l integrale de Riemann ca sert a rien :ptdr: )
autre exo:montrer que f est limite simple de fonctions continues

[leon1789]

Salut,

Salut :happy3:

Oui par l'absurde ça marche bien !

J'aurais dit > puisque tu démontres que si ne tend pas vers l'infini alors la limite éventuelle de ne peut être que rationnelle. Mais bon....



Sinon je pensais à cette preuve (qui marche bien aussi :we: ) :
pour montrer que tend vers l'infini, il suffit de montrer que pour tout M, l'ensemble