étude d'une fonction ln

[illuvatari]

bonjour à tous!

voici mon problème:

énoncé:

soit la fonction f(x)=1/lnx

1)calculer sa dérivée
2)trouver son ensemble de définition
3)dresser son tableau de variations
4)calculer ses limites aux bornes de l'intervalle sur lequel elle est définie

ce que j'ai fait:

1) dérivée: f'(x)=x

2)je trouve: il faut que lnx>0 et que que x>0, D(f)=]O;1[ U ]1;+inf[ (JE NE SUIS PAS SUR DU TOUT)

3)en considérant que l'ensemble de définition de f(x) est D(f)=]O;1[ U ]1;+inf[
puisque la dérivée f(x)=x est positive sur D(f), alors j'ai f(x) est strictement croissante sur D(f).

4)en considérant que l'ensemble de définition de f(x) est D(f)=]O;1[ U ]1;+inf[
les limites à définir sont donc:

.lim f(x)
x->0
x>0

.lim f(x)
x->1
x1
x>0

.lim f(x)
x->+inf


lorsque x->0 (avec x>0)

lim lnx=-inf
x->0

donc lim f(x)=0
x->0

lorsque x->1, avec x1
x1
x1, avec x1
x>1

or, f(x)=lnx/(lnx)^2

donc lim f(x)=0
x->1
x>1

[u]lorsque x->+inf

lim lnx=+inf
x->+inf

donc lim f(x)=0
x->+inf

Mes soucis:

1)les limites que je trouve ne concordent pas avec celles du tableau de variations:

je trouve toujours une imite de f(x)=0???!!!
ou est mon erreur?

2)Je ne suis pas sur de mon intervalle D(f), est-il bon?

3)selon vous, y'a-t-il d'autre erreurs?

4)à part ces erreurs, est-ce que cette étude de foncion est "complète"?

merci d'avance de votre aide!

[guigui51250]

pour la 2), il faut que lnx soit différent de 0 donc là pas de problème il est toujours différent de 0 sauf pour x=... et il faut que x soit strictement supérieur à 0 donc tu en déduit l'ensemble de définition
pour la 3), les variations de f(x) tu les obtiens avec le signe de f'(x) donc vu que la dérivée est égale à x ça va pas être trop dûr
pour les limites, tu dois connaitre les limites de lnx mais là il faut faire attention ta fonction c'est 1/lnx donc revois certaines limites ^^

sinon apart les limites je suis dacord avec toi

[oscar]

Bonjour


( 1/lnx)' = - ( 1/x)/ ( ln x))²
( 1/u)' = -u'/ u²..

[illuvatari]

ok merci guigui!

mais dire que j'ai faux aux limites, ce n'est que paraphraser, c'est bien beau mais je sais que j'ai faux, et cela ne va pas m'avancer qu'on me le confirme, ce que je veux savoir, c'est quelle est mon erreur? je n'arrive pas à voir ou je me suis trompé?

à moin que mes connaissances soient fausses à la base, dites moi si je me trompe, mais je considère que:

lim lnx=-inf
x->0

lim lnx=0
x->1
x<1

lim lnx=0
x->1
x>1

et

lim lnx=+inf
x->+inf

[guigui51250]

ok merci guigui!

mais dire que j'ai faux aux limites, ce n'est que paraphraser, c'est bien beau mais je sais que j'ai faux, et cela ne va pas m'avancer qu'on me le confirme, ce que je veux savoir, c'est quelle est mon erreur? je n'arrive pas à voir ou je me suis trompé?

bah tu as fait les limites de lnx alors que c'est les limites de 1/lnx qu'il faut faire, celà dit les limites de lnx te servent pour faire les limites de 1/lnx

[illuvatari]

merci oscar, je me suis bien trompé dans ma dérivée!

f'(x)=( 1/lnx)' = - ( 1/x)/ ( ln x)²=-1/(x(lnx)²)

donc

lnx>0
( ln x)²>0
x( ln x)²>0
1/(x( ln x)²)>0
-1/(x( ln x)²)0

lim f(x)=0
x->1
x1
x>1

et

lim f(x)=0
x->+inf

[illuvatari]

lorsque x->1, avec x<1

lim lnx=0
x->1
x<1

or, f(x)=1/lnx

donc lim f(x)=lim(1/lnx)=+inf (car on est pour x<1)
x->1
x<1

or ma fonction est strictement décroissante, donc cela ne convient pas, elle ne peut décroitre vers +inf?!

[guigui51250]

je dirais plutot - l'infini car la limite en 1- de linx est 0-

[muse]

lorsque x->1, avec x1
x1
x<1

or ma fonction est strictement décroissante, donc cela ne convient pas, elle ne peut décroitre vers +inf?!

C'est tres bien que tu penses a ça. Car il t'arrivera de temps a autres de faire des erreurs et de trouver une onfction qui decroit vers + infini ce qui dit donc que tu as fait une erreur apres a savoir ou ? vérifie la limite en premier c'est plus facile et puis apres si t'as dérive est bien <0 et si tu trouve bien la bonne dérivé

Mais bon la on ta donné la reponse