Pour la 4 , on écrit
La question est combien vaut
Que donne
Ce polynome si on l'évalue en
(le Ak present dans les definitions des Pk )
(raaa les a ressemblent à des alphas....)
Famille Libres Bases ... [MPSI]
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par Antho07 » 30 Déc 2008, 14:54
Tu as fais comment la 2 ??
Pour la 4 , on écrit
= \bigsum_{k=1}^{n} \alpha_{k} P_{k}(X))
La question est combien vaut
Que donne
Ce polynome si on l'évalue en
(le Ak present dans les definitions des Pk )
(raaa les a ressemblent à des alphas....)
Pour la 4 , on écrit
La question est combien vaut
Que donne
Ce polynome si on l'évalue en
(le Ak present dans les definitions des Pk )
(raaa les a ressemblent à des alphas....)
par Ulcan » 30 Déc 2008, 15:07
Alors pour la 2) ce que j'ai fait j'ai dit que
Soit i un entier naturel compris entre 1 et n-1
Deg(Pi)
Par contre l'évaluation des Ak je ne vois pas du tout
Soit i un entier naturel compris entre 1 et n-1
Deg(Pi)
Par contre l'évaluation des Ak je ne vois pas du tout
par Antho07 » 30 Déc 2008, 15:15
sauf que
deg(P1)=deg(P2)=Deg(P3) =2 (dans le cas où n=3)
Les polynomes Pk sont tous de degré n-1
On ne peut pas utiliser le degré ici.
On va faire autrement ici.
Je rappelle que
sont n reels distincts
et qu'on definit pour tout k entre 1 et n
=\bigprod_{i=1 \\ i \neq k }^{n} (X -A_{i}))
On veut montrer la liberté de la famille , \ldots , P_{n}(X))
Méthode habituelle, on prend une combinaison linéaire nulle des vecteurs de cette famille.
 =0)
avec
.
Il faut montrer qu'alors les beta sont tous nuls.
Question intermédiaire (qui servira aussi pour la question 4).
Que vaut)
si 
?
deg(P1)=deg(P2)=Deg(P3) =2 (dans le cas où n=3)
Les polynomes Pk sont tous de degré n-1
On ne peut pas utiliser le degré ici.
On va faire autrement ici.
Je rappelle que
et qu'on definit pour tout k entre 1 et n
On veut montrer la liberté de la famille
Méthode habituelle, on prend une combinaison linéaire nulle des vecteurs de cette famille.
avec
Il faut montrer qu'alors les beta sont tous nuls.
Question intermédiaire (qui servira aussi pour la question 4).
Que vaut
par Ulcan » 30 Déc 2008, 15:19
Pk ( Ai) ça représente pour toi
Pk(Ai) = Pi ( 1 à Ai Ai différent de i) (X-Ai)?
Pk(Ai) = Pi ( 1 à Ai Ai différent de i) (X-Ai)?
par Antho07 » 30 Déc 2008, 15:22
Ulcan a écrit:ça ne fait pas 0
Puis que i différent de k on aura jamais ( Ai-Ai)?
Tu as pas répondu à la bonne question:
On aura effectivement
parce que
dans Pk(X) , le facteur (X-Ak) n'apparait pas et comme les A1,...,An sont distintcs , le produit Pk(Ak) est donc non nul.
Maintenant, on fixe k
on prend un i différent de k
Combien vaut
par Antho07 » 30 Déc 2008, 15:25
Ulcan a écrit:Pk ( Ai) ça représente pour toi
Pk(Ai) = Pi ( 1 à Ai Ai différent de i) (X-Ai)?
non , on garde les notations
On evalue en
Comme si on avait P(X)=X^3+X
alors P(2)=2^3+2
par Ulcan » 30 Déc 2008, 15:29
je pense que ça fera 0 parce qu'il y'aura un moment ou on aura Ai=Aj?
puisqu'"il n'est pas dit que j différent de i
puisqu'"il n'est pas dit que j différent de i
par Antho07 » 30 Déc 2008, 15:36
J'ai n réels
J'ai n polynomes:
, \ldots P_{n}(X))
Je prend un polynome :
Je fixe un k entre 1 et n et je prends
)
(le k est fixé il bouge plus)
Maintenant , je prends un j entre 1 et n différent de k
et je prend le réel
qui corréspond.
J'ai un polynome et un réel .
Les constantes k et j sont fixés , elles ne bougent plus à partir de maintenant .
Combien vaut=\bigprod_{i=1 \\ i \neq k} ^{n} (A_{j}-A_{i}) =(A_{j}-A_{1}) \times \ldots \times (A_{j}-A_{k-1}) \times (A_{j}-A_{k+1}) \times \ldots \times (A_{j}-A_{n}))
sachant que k est different de j
J'ai n polynomes:
Je prend un polynome :
Je fixe un k entre 1 et n et je prends
Maintenant , je prends un j entre 1 et n différent de k
et je prend le réel
J'ai un polynome
Les constantes k et j sont fixés , elles ne bougent plus à partir de maintenant .
Combien vaut
sachant que k est different de j
par Ulcan » 30 Déc 2008, 15:40
Dans ce cas là je ne vois plus mais ça peut faire 0
ok k différent de j mais peut être que k-1 = j donc comme c'est un produit 0*c*a*r =0 quand même .
ok k différent de j mais peut être que k-1 = j donc comme c'est un produit 0*c*a*r =0 quand même .
par Antho07 » 30 Déc 2008, 15:41
Ulcan a écrit:je pense que ça fera 0 parce qu'il y'aura un moment ou on aura Ai=Aj?
puisqu'"il n'est pas dit que j différent de i
voilà c'est ça.
Les polynomes
Maintenant on revient à la combinaison linéaire
Je fixe un p entre 1 et n et j'evalue tout ça en Ap
Cela donne
Mais a gauche on peut simplifier (ya des termes de la sommes qui sont nuls)
Qu'est-ce qui reste apres simplifications?
par Antho07 » 30 Déc 2008, 15:44
Ulcan a écrit:Dans ce cas là je ne vois plus mais ça peut faire 0
ok k différent de j mais peut être que k-1 = j donc comme c'est un produit 0*c*a*r =0 quand même .
Oui le polynome Pk(X)
est le produit de tous les (X-Ai) sauf (X-Ak)
Donc si on evalue en un j different de k
(X-Aj) etant un facteur de Pk(X) cela fait 0
Si on evalue en Ak
(X-Ak) ne fait pas partie des facteurs de Pk(X) (le seul qui n'en fait pas partie) donc comme les A1...An sont distincts
Pk(Ak) est non nul
par Antho07 » 30 Déc 2008, 15:57
(X- Ap) divise tous les Pk(X) sauf Pp(X)
Donc
Pk(Ap)=0 pour tout k sauf pour k=p
donc
\\=\beta_{1} P_{1}(A_{p})+\ldots +\beta_{p-1}P_{p-1}(A_{p})+\beta_{p} P_{p}(A_{p})+\beta_{p+1}P_{p+1}(A_{p+1})+\ldots+ \beta_{n} P_{n}(A_{p})\\=0+\ldots+0+\beta_{p}P_{p}(A_{p})+0 +\ldots+0)
donc finalement la combinaison lineaire devient
=0)
(quand on l'evalue pour Ap (p entre 1 et n))
Maintenant, \neq 0)
On en déduit que
et on peut faire ça pour tous les p entre 1 et n.
=> les beta sont tous nuls et la famille est libre
Donc
Pk(Ap)=0 pour tout k sauf pour k=p
donc
donc finalement la combinaison lineaire devient
(quand on l'evalue pour Ap (p entre 1 et n))
Maintenant,
On en déduit que
et on peut faire ça pour tous les p entre 1 et n.
=> les beta sont tous nuls et la famille est libre
par Ulcan » 30 Déc 2008, 16:20
Merci beaucoup pour cette question
Je vais réfléchir sur la 4) et je vous tiendrais au courant merci encore
Je vais réfléchir sur la 4) et je vous tiendrais au courant merci encore
par Antho07 » 30 Déc 2008, 16:25
Ulcan a écrit:Merci beaucoup pour cette question
Je vais réfléchir sur la 4) et je vous tiendrais au courant merci encore
La 4 c'est exactement le meme raisonnement
par Ulcan » 30 Déc 2008, 16:32
Ah oui c'est bon j'ai trouvé la 4) c plus la somme = 0 mais la somme = p donc ça roule tout seule :) merci encore
je réfléchit pour la 5) et je vous tiens au courant
je réfléchit pour la 5) et je vous tiens au courant
par Ulcan » 30 Déc 2008, 19:45
Bon bah je ne trouve pas la question numero 5 ) j'ai beau à cherhcer je ne trouve pas:s
par Antho07 » 30 Déc 2008, 21:31
Les polynomes  ,\ldots, P_{n}(X))
conviennent presque, ils vérifient 0 quand il faut.
Le seul probleme c'est que \neq 1)
Cela etant remarqué,
Soit p entre 1 et n:
on veut un polynome)
qui vaut 1 en Ap et 0 sur tous les autres Aj
Pp(X) n'est pas très éloigné de celui ci, il faut juste le diviser par un coéfficient tels que=1)
On posera alors =\frac{1}{\beta_{p}}P_{p}(X))
et on aura gagné
il faut trouver ce
On veut
=\frac{P_{p}(A_{p})}{\alpha_{p}})
soit finalement
=\bigprod_{i=1 \\i \neq p}^{n} (A_{p}-A_{i}))
donc finalement
=\frac{1}{\bigprod_{i=1 \\ i \neq p}^{n}(A_{p}-A_{i})}{\bigprod_{i=1 \\ i \neq p }^{n} (X-A_{i})} \\ =\bigprod_{i=1 \\ i\neq p}^{n} \frac{X-A_{i}}{A_{p}-A_{i}})
On definit les L1(X) .... Ln(X) comme ceci.
On vérifie qu'ils sont libres (de la meme maniere que la question 2).
On appele ces polynomes les polynomes de base d'interpolation de Lagrange.
(d'ou le L)
conviennent presque, ils vérifient 0 quand il faut.
Le seul probleme c'est que
Cela etant remarqué,
Soit p entre 1 et n:
on veut un polynome
Pp(X) n'est pas très éloigné de celui ci, il faut juste le diviser par un coéfficient tels que
On posera alors
il faut trouver ce
On veut
soit finalement
donc finalement
On definit les L1(X) .... Ln(X) comme ceci.
On vérifie qu'ils sont libres (de la meme maniere que la question 2).
On appele ces polynomes les polynomes de base d'interpolation de Lagrange.
(d'ou le L)
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