Familles libres , bases , etc

[Anonyme]

Bonjour comment puis-je démontrer que si E est un espace vectoriel de dimension n , toute famille libre de n vecteurs est une base ainsi que la version analogue avec une famille génératrice de n vecteurs ?

[Sphinx]

Si E est un K-ev de dimension finie et B une base de E à n éléments,alors toute partie libre de E a au plus n éléments.(démonstration par le lemme d'échange)
Il en résulte que toutes les bases de E ont même cardinal.
En effet si B de cardinal n et B' de cardinal n' sont deux bases de E,alors:
B est libre et B' est une base de E,donc n<=n' et B' est libre et B est une base de E,donc n'<=n.D'où n=n'.
Sur E de dimension n,si F est une famille libre de n vecteurs,alors F constitue une partie génératrice de E,donc une base de E car sinon il existerait x<>o de E tel que F "union" {x} soit libre.Or elle contient n+1 éléments.Donc n+1<=n,ce qui est faux.
En plus clair:si E<>Vect F,il existe x<>0 hors de Vect F,d'où F "union" {x} est libre et contient n+1 éléments,ce qui est impossible car alors n+1<=n!
Donc E=Vect F et F est donc génératrice et donc F est une base de E.