Sous groupe et morphisme

[goudou]

Bonsoir à tous !
Je travaille sur les groupes, sous groupes, et morphismes de groupes.
Je fais un exercice et je ne sais pas comment traiter une question.
Le sujet est:
Soit A={z appartenant à C : z^5=1}.
On a montré que A est un sous groupe de {C*,x}, et:
"on considère l'application f : Z -> A
k -> e( (2i k pi)/5)
Montrer que f est un morphisme de groupe."

Je sais que f(G1->G2) est un morphisme si pour (G1,*1) et (G2,*2) on a f(G1 *1 G2)= f(G1) *2 f(G2). Cependant, je n'arrive pas à l'appliquer ici. Quel sont les opérateurs *1 et *2? Comment le rédige t-on? Je suis perdue :hein:

[ThSQ]

Quel sont les opérateurs *1 et *2

L'addition de Z et la multiplication de C + e^(a+b) = e^a * e^b

[goudou]

Pourquoi l'addition de Z ? Enfin, comment le sait-on ? Car nul part on ne mentionne un autre opérateur ?
Et puis je pensais qu'il fallait utiliser k, c'est à dire, montrer que f(A *1 k)= f(A) *2 f(k) ...

[ThSQ]

Pourquoi l'addition de Z

Ben je sais pas moi, tu veux mettre quoi ? la multiplication :ptdr: ?

[goudou]

On choisit donc l'opérateur "au hasard" ? :hein:

[ThSQ]

Bon sérieusement, la structure de groupe naturelle, implicite, sur Z c'est (Z,+)

[goudou]

ah d'accord, je ne savais pas !

Mais pourquoi pour *2 prend t-on la multiplication de C, car *2 est l'opérateur de k non ?

(désolée, j'ai un peu du mal, mais je m'entraîne seule et sans corrigés =/)

[ffpower]

On a montré que A est un sous groupe de {C*,x}

.La tu as toi meme écrit que la loi sur C* et donc sur A,c était la multiplication..

[goudou]

D'accord, je commence à comprendre ... Mais alors, que vient faire ce k -> e( (2i k pi)/5) ? Est ce que cela signifie que l'on considère k dans Z (muni donc de l'addition), et que l'on doit montrer:
f(k+A)=f(k)*f(A) ?
Et dans ce cas là, que vaut la fonction f ?

[Doraki]

Z muni de la multiplication n'est pas un groupe (par exemple, 0 n'a pas d'inverse) donc, la loi de composition interne *1 ça peut être que l'addition.

Ensuite, tu as montré que (A, ×) est un groupe, donc *2 c'est la multiplication ×.

Tu veux montrer que la fonction f : (k : Z) -> e^(2ikpi/5) est un morphisme,
donc, en remplaçant *1 et *2 par les opérations concrètes dans ta définition de morphisme,

que pour tout x et y de Z, f(x+y) = f(x) × f(y).
Donc, en remplaçant f par sa définition,
que pour tout x et y de Z, e^(2i(x+y)pi/5) = e^(2ixpi/5) × e^(2iypi/5)

[goudou]

Ok ! Si je récapitule, cela donne :
On a les deux groupes : (Z,+) et (A,*) [et en fait, c'était vraiment idiot de ma part de ne pas trouver pourquoi Z est obligatoirement muni de l'addition ! ]
On a également f(k)=e( (2i k pi)/5).
On veut donc montrer que pour tout a,b appartenant à Z, f(a+b)=f(a)*f(b).
C'est bien ça ?

[Doraki]

C'est quoi f(A) ?
f c'est une fonction qui prend des entiers (le domaine de f c'est bien Z, on a dit)
là t'es en train de dire que t'appliques f à un groupe ?
Et je parle même pas de "Z+A"

ok c'est bon.

[goudou]

Oui je me suis rendu compte de mon erreur et je viens de modifier =/

[goudou]

Merci beaucoup :id: