Qu'en pensez vous???

[Anonyme]

Bonsoir
j'ai encore un exo à vous proposer.
on considere une suite de nombres réels positifs Un pour n non nul.on la notera U
on definit alors la suite Vn pour n non nul par la relation:
Vn=rc(U1+rc(U2+rc(U3+.........+rc(Un)))).
1) Montere que la suite v est croissante.
ça je l'ai fait.
2) Montrer que si la suite u est constante alors la suite v est convergente et calculer sa limite.
pour cette question j'ai posé U=a constante. alors j'ai trouvé que
V(n+1)=rc(a+Vn).mais je ne sais pas comment montrer que Vn converge et calculer sa limite.

3)Soient a et b deux réels strictement positifs. montrer que si pour tout entier naturel non nul n on a Un<=a*(b)^p. oû p=2^n.alors la suite v est convergente et évaluer sa limite.
jje n'ai pa pu faire cette derniere question.
MERCI DE VOTRE AIDE

[Anonyme]

en fait j'ai essayé de résoudre la deuxieme question et voila ce que j'ai trouvé:
V(n+1)=rc(a+Vn).
j'ai calculé V(n+1)-Vn=[(Vn-((1-rc(1+4a))/2)*((1+rc(1+4a))/2-Vn)]/(rc(a+Vn)+Vn)
donc le signe de V(n+1)-Vn depend du signe de (1+rc(1+4a))/2-Vn).
donc si 1+rc(1+4a))/2 > Vn on n'a Vn croissant et majoré donc convergente.
dans le cas contraire Vn est decroissante et minorée donc convergente.
la limite verifie l=rc(l+a)

qu'est ce vous en pensez ??
et pour les autres questions????

MERCI

[Anonyme]

je voudrais seulement savoir si ce que j'ai fait est juste ou non.

[Anonyme]

alors franchement qu'en pensez vou????

[Pythales]

Vn=rac(a+V(n-1)) est correct. Ca montre que Vn>rac(V(n-1)) et par récurrence : Vn>racn(a) où racn=racine nième. Comme racn(a) tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini, il existe N tel que n>N entraine Vn>1.
Cela dit : V(n+1)-Vn=rac(a+Vn)-rac(a+V(n-1))=(Vn-V(n-1))/(V(n+1)+Vn)
Pour n>N on majore V(n+1) et Vn par 1, soit V(n+1)-VnPour la question suivante, on voit facilement que Vn

[yos]

Vn=rac(a+V(n-1)) est correct. Ca montre que Vn>rac(V(n-1)) et par récurrence : Vn>racn(a) où racn=racine nième.

Ce serait plutôt 2^n ième.

Comme racn(a) tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini, il existe N tel que n>N entraine Vn>1.

Encore faux : 1-1/n²>1-1/n et le second membre tend vers 1 mais le premier n'est jamais supérieur à 1.

si n tend vers l'infini, V(n+1)-Vn tend vers zéro. La suite est convergente.

Là c'est grave!!

Sa limite est donnée par L=rac(a+L) soit L=...

Enfin quelquechose de juste.

[Anonyme]

hola hola les amis je ne comprends plus rien!!!!! donc ce que j'ai fait est faux.
je suis vraiment perdu. pouvez vous vous mettre d'accord????

[yos]

Bonjour.
J'espère que Pythalès n'est pas vexé. J'ai un peu torpillé son raisonnement avec l'excès qui me caractérise.
Mais bon il a dit des trucs faux alors...

Pour la convergence de la suite, tu sais déjà qu'elle est croissante, reste à prouver qu'elle est majorée. Pour ça, il faut deviner un majorant avant de prouver que c'en est un pour de bon : rien de tel que la limite présumée (la solution de ).
Concrètement :
Je suggère de poser . Tu as f(L)=L et f(Vn)=Vn+1 et f est croissante. Avec ça tu prouves très vite par récurrence que Vn est majorée par L.
(Or elle est croissante, donc elle converge et on a vu que la limite ne peut être que L=1/2(1+rac(1+4a)) )

[Pythales]

Bon. Alors je reprends parce que sinon Yos va en faire une maladie.
1/ D'accord pour racine 2^n ième, mais ça ne change rien au résultat
2/ Il n'en reste pas moins que pour n>N, Vn>=1 donc V(n+1)-Vn<=((Vn-V(n-1))/2, et ça tend bien vers 0.
3/ Je suis d'accord pour dire que la convergence n'est pas obligatoire si V(n+1)-Vn tend vers 0 (cf série harmonique). Mais si la limite existe, ce ne peut être que la racine positive de L=rac(a+L). On vérifie que L>=1.
Maintenant, V(n+1)-L=rac(a+Vn)-L=rac(a+Vn)-rac(a+L)=(Vn-L)/(V(n+1)+L), soit abs(V(n+1)-L)<=1/2.abs(Vn-L). D'où la conclusion.

Ca te va comme ça ?

[Anonyme]

merci
et qu'en pensez vous de la troisieme question????

[Pythales]

J'avais répondu à Yos avant d'avoir lu son dernier message (11h02)
Je crois avoir répondu à la dernière question

[Anonyme]

non voila ma troisieme question:
3)Soient a et b deux réels strictement positifs. montrer que si pour tout entier naturel non nul n on a Un<=a*(b)^p. oû p=2^n.alors la suite v est convergente et évaluer sa limite.
jje n'ai pa pu faire cette derniere question.
MERCI DE VOTRE AIDE

[yos]

Pour la question suivante, on voit facilement que Vn<b.rac(a+rac(a+...)) dont la limite est b.L

Pythalès avait en effet répondu.

Vn<b.rac(a+rac(a+...)) <ou=b.L avec et v croissante donc v converge et sa limite est comprise entre 0 et bL.

Je ne crois pas qu'on puisse faire mieux pour la limite.

[Anonyme]

ah d'accord
et si on suppose de plus que Un>0 pour n non nul.
Montrer qu'alors la suite V est convergente si et seulemnt si la suite de terme general [ln(Un)]/(2^n) est majorée.

merci infiniment

[Pythales]

Tu devrais nous livrer toutes les questions à la fois plutôt que de les distiller une à une. C'est vraiment la drenière ?

[Anonyme]

oui c'est la derniere.
j'ai "distillé" les questions car avant de poser une question j'y reflechis d'abord, si je bloque je la poste dans le forum. c'est pour cela que je n'ai pas poser les 4) question à la fois.
excusez moi si ça vous dérange.
alors qu'est ce que vous en pensez de ma derniere question???

merci

[Anonyme]

alors y a personne pour m'aider.
car j'ai à rendre ce maudit DM pour demain.
MERCI DE VOTRE AIDE

[Pythales]

Non, ça ne me gène pas vraiment.
(ln(Un))/2^nJ'espère que Yos est d'accord.

[Anonyme]

mais je crois qu'il reste à démontere la réciproque; c'est à dire
v est concergente => Ln(Un)/2^n est majorée
avez vous une idée???

[yos]

La réciproque me semble indiquée en effet, bien que Pythalès semble avoir retrouvé une partie de ses moyens.

On peut montrer la contraposée : ln(un)/2^n non majorée => vn non majorée (donc divergente).
Pour cela tu as la minoration vn > (un)^(1/2^n) qui conduit rapidement au résultat.