Détermination de deux tangentes

[liltiss]

Bonsoir(je vous préviens, c'est relativement long mais c'est surtout à cause de mes explications puisque cette partie de mon DM est reliée à ma première partie que je ne vais pas entièrement vous exposer ici.

On considère la parabole P d'équation: y= x² -x-1. On note pour x appartenant à IR f:(x) = x² - x-1 la fonction polynome associée à cette parabole. On note Ta la tangente à la parabole P a point d'abscisse a.
On cherche dans cette partie la tangente à P et qui est perpendiculaire à Ta.
On notera Ta (signe perpendiculaire>>un T a l'envers) cette tangente.
Attention : Ta (signe perpendiculaire>> un T a l'envers) n'est pas tangente au point à P au point a.

1. Rappeler quelle est l'équation de Ta en fonction de x,a, f(a) et f'(a). Quel est le coefficient directeur de Ta ?
Pour cette question assez simple j’ai fait : T:y= (x-a) f'(a) + f(a).Le coefficient directeur est f’(a) ;

2. Calculer f'(a) en fonction de a
J’ai utilisé le taux de variation et après tout le calcul j’ai trouvé :
lim lorsque h–>0 f(a+h) –f(a)/h
<=>h+2a-1
donc f ‘(a)= 2a-1

3. A l’aide de la partie 1 montrer que le coefficient directeur de Ta(signe perpendiculaire>> un T a l'envers) est égal à –1/ 2a-1.
J’ai déjà fait la partie 1 mais je ne parviens pas à relier les deux égalités. Dans la partie 1 il s’agissait de montrer que si une droite D est perpendiculaire à une droite D’ alors a’= -1/a.. En sachant que les données de base de la partie 1 était D :y =ax+b et D’= a’x+b’ .
De ce fait le coeff directeur de D est a et il est égal à –1/a et le coefficient directeur de D’ est a’ et il est égal à –1/a
J’ai réussi a le faire et a le comprendre même si j’avais déjà laissé un message avant.
Enfin voilà je n’arrive à relier le f’(a)= 2a-1 qui est le coefficient directeur de Ta et le a’ coeff directeur de la droite D’ du premier exo.

4.Déterminer l’abscisse xa du point en lequel Ta(signe perpendiculaire>> un T a l'envers) est tangent en P.(on pourra chercher x appartenant à IR tel que f’(x)= -1/2a-1), on justifiera cette indication).

5.Pour quelle valeur de a ne peut on pas calculer xa ?

6. Application : Calculer les équations de T1 et T1(signe perpendiculaire>>un T a l'envers)
La j’avais pensé à la formule T1 : y= (x-a) f’(a) + f(a). Mais je ne suis pas sure. De plus il me faut prouver que le coefficient directeur de Ta(signe perpendiculaire>>un T a l'envers) = - 1/2a-1 :S

7. Dans un repère ohonormé (O ; i ; j(avec les flèches )) unité 2 cm. Tracer la parabole P ainsi que T1 et T1(signe perpendiculaire>>un T a l'envers).Bon ça je pense etre capable de le faire seule mais bien sur il me manque les données sur T1 et T1(signe perpendiculaire>>un T a l'envers) pour pouvoir effectuer ce dessin.

Pouvez vous m’aider s’il vous plait ?

[bombastus]

Bonsoir liltiss,

pour la 1 et 2 => OK.

Quand tu écris :

Ta(signe perpendiculaire>> un T a l'envers)

Cela veut dire la perpendiculaire à Ta, non? Donc comment trouver le coefficient directeur d'une droite perpendiculaire à une autre dont on connaît le coefficient directeur?

Pour la 4 et la 5, tu n'as pas du tout d'idée?

Pour la 6, il n'y a pas un point appartenant à la parabole qui est précisé? Car il faut calculer la tangente à un point de la courbe (en a).

[liltiss]

Je voulais juste rectifier le tête car je me suis trompée dans l'écriture:

"De ce fait le coeff directeur de D est a et il est égal à –1/a et le coefficient directeur de D’ est a’ et il est égal à –1/a"
En fait le coefficient directeur de D est a et il est égal à -1/a' et non -1/a.

Et Ta (signe perpendiculaire>> un T a l'envers) est juste la notation de la tangente comme elle aurait pu etre appelée Tap ou Tan etc.

Vous dites:"Cela veut dire la perpendiculaire à Ta, non? Donc comment trouver le coefficient directeur d'une droite perpendiculaire à une autre dont on connaît le coefficient directeur?".
J'avais pensé à ça: Soit dans la première partie, j'ai démontrer que D et D' étaient bien perpendiculaire car a'= -1/a.
Je vais appeler ce coefficient a'(coeff2) et le coefficient a= -1/a'(coeff1)
Si je m'aide de ce rapport ça signifie que Ta de coefficient directeur 2a-1(correspondant au coeff1 [soit a]) et Tap (appelons ça comme cela pour simplifier) correspond au coeff2(soit a').
Si japplique l'égalité de a'= -1/a cela revient à faire de meme pour les tangentes: a'= -1/a . Et sachant que le coeff directeur de Ta(a) est 2a-1 alors le coeff directeur de Tap (a')= -1/2a-1 ce qui donne bien l'égalité prévue. C'est bien ça?

Et non pour les questions 4 et 5 je n'ai pas vraiment d'idée. Je ne sais pas vraiment dans quel cas il faut utiliser la formule de l'équation de la tangente et dans quel cas utiliser le taux de variation.
Merci encore.

[bombastus]

Et Ta (signe perpendiculaire>> un T a l'envers) est juste la notation de la tangente comme elle aurait pu etre appelée Tap ou Tan etc.

Je suppose que tu voulais écrire perpendiculaire et non tangente...

Vous dites:"Cela veut dire la perpendiculaire à Ta, non? Donc comment trouver le coefficient directeur d'une droite perpendiculaire à une autre dont on connaît le coefficient directeur?".
J'avais pensé à ça: Soit dans la première partie, j'ai démontrer que D et D' étaient bien perpendiculaire car a'= -1/a.
Je vais appeler ce coefficient a'(coeff2) et le coefficient a= -1/a'(coeff1)
Si je m'aide de ce rapport ça signifie que Ta de coefficient directeur 2a-1(correspondant au coeff1 [soit a]) et Tap (appelons ça comme cela pour simplifier) correspond au coeff2(soit a').
Si japplique l'égalité de a'= -1/a cela revient à faire de meme pour les tangentes: a'= -1/a . Et sachant que le coeff directeur de Ta(a) est 2a-1 alors le coeff directeur de Tap (a')= -1/2a-1 ce qui donne bien l'égalité prévue. C'est bien ça?

Oui, c'est bien cela qu'il fallait remarquer.

Et non pour les questions 4 et 5 je n'ai pas vraiment d'idée. Je ne sais pas vraiment dans quel cas il faut utiliser la formule de l'équation de la tangente et dans quel cas utiliser le taux de variation.
Merci encore.

Il ne faut pas confondre taux de variation et tangente.
Le taux de variation correspond au nombre dérivée d'une fonction en un point. C'est aussi le coefficient directeur de la tangente.
La tangente à une courbe en un point a est une fonction.

Dans les Questions 1 et 2, on te demandait de calculer le coefficient directeur connaissant l'abscisse du point appartenant à P.
Dans la question 4, on te demande de faire l'inverse : tu connais le coefficient directeur de Tap et tu dois trouver en quel point Tap est tangent à P.
Je ne sais pas si je suis très clair, donc n'hésite pas à poser des questions si tu ne comprends pas.

Avec le résultat de la question 4, tu pourras en déduire la question 5.