Exercice Terminale S

[Anonyme]

Salut, voilà un petit problème qui me pose quelques difficultés:

Calculer la valeur exacte de :

1+cos(2pi/5)+cos(4pi/5)+cos(6pi/5)+cos(8pi/5)

Merci d'avance...

[fan de maths]

Bonjour,

On sait que cos()=
et comme cos(2a)=2cos²a-1
alors cos()=2()²-1 =-
Pour cos() tu fais la même chose et tu trouves .
Et pour cos() tu utilises une formule d'addition et tu trouves -.

Après tu additionnes le tout et tu trouves 0.

À mon avis on n'avait pas pas besoin de faire de calcul si c'est pour trouver ce résultat, alors je vais chercher une méthode plus simple.

[André]

cos(2*Pi/5) = (-1 + sqrt(5))/4
C'est évident... tout le monde le connaît par coeur...
Pour retrouver ce résultat :
posons x = 2*Pi/5
on cherche donc cos(x)
on sait que cos(5*x) = cos(2*Pi) = 1
on développe cos(5*x) :
cos(5*x) = Re(cos(5*x) + i*sin(5*x)) = Re((cos(x) + i*sin(x))^5)
je ne détaille pas les calculs... bref, on obtient cos(5*x) = P(cos(x)) une expression polynomiale du type a5*cos(x)^5 + ... + a1*cos(x) + a0
donc a5*cos(x)^5 + ... + a1*cos(x) + (a0 - 1) = 0
cos(x) est donc une solution X de a5*X^5 + ... + a1*X + (a0 - 1) = 0 telle que -1 < X < 1 ou plutôt 0 < X < 1

[flight]

1+cos(2pi/5)+cos(4pi/5)+cos(6pi/5)+cos(8pi/5)

salut

tout cela vaut SOM(2.k.pi/5) pour k compris entre 0 et 4.

on sait de plus que cox =(e^ix+e^-ix)/2

en, posant x=2k.pi/5 et en effectuant la somme membre à membre
pour k compris entre 0 et 4 on arrive au résultat en prenant ensuite la partie réelle du résultat.


a+

[allomomo]

Salut,



On pose

s'écrit :



donc

donc :