Exercice sur les suites (TS)

[Azul]

Bonsoir,
Je vous remercie d'avance pour le temps que vous passerez à lire et a répondre si possible à mon message.
J'ai l'exercice suivant à faire et je ne parviens vraiment pas à le résoudre le voici :
Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout n e N (ensemble des entiers naturels), il existe deux entiers naturels an et bn tels que :
( 2 + ;)3)^n = an + bn x ;)3
Je ne vois meme pas comment faire pour initialiser car j'ai fais le premier membre élevé a la puissance 0 et j'obtiens 1 mais je ne m'occupe pas de mon second membre ce qui je pense n'est pas normal.
Merci encore

[le_fabien]

Bonsoir,
il est clair que 1= 1+0V3 , non?
donc l'initialisation est bonne.

[Azul]

Je vais paraitre bete mais le deuxième morceau d'égalité tu le sors d'où ?

[le_fabien]

D'après ce que j'ai écris ao=1 et bo=0 , pour moi c'est bon. :zen:

[Azul]

Mais je n'ai pas le droit de partir avec une hypothèse de réponse alors comment faire car là où est le raisonnement de récurrence ?
Ne le prend pas mal ...

[le_fabien]

Bon.
(2+V3)^0=1 Ok
de plus il existe donc bien ao=1 et bo=0 tel que (2+V3)^0=ao+boV3
Donc l'initialisation est faite.
Tout baigne.

[Azul]

On va admettre ça me parait logique mais c'est basé sur la logique sans aucun calcul .
Et pour l'hérédité je fais comment je fais encore au hasard avec n+1 ?

[le_fabien]

Pour n+1 , ilva falloir que tu me proposes des solutions...

[Azul]

Ba là est le problème c'est que déjà pour l'initialisation c'est de la logique tu peux pas me proposer stp un calcul ce qui me permettrait de le faire avec n+1.

[marc16]

Bonsoir,

sans donner la réponse, voici beaucoup de détails qui devraient vous permettre de conconclure:


On initialise avec et

pour , = donc
et

pour , ==
donc et

...

l'hérédité c'est il existe deux suites et tel
que

ensuite on calcule

en écrivant
=

en développant on obtient et en fonction de
, et

il n'a plus qu'à faire les calculs.

Bonne rédaction.

[le_fabien]

Bien tout ça . :zen:

[Azul]

Merci à vous deux,
J'ai encore une question quand tu fais (2+ racine de 3) ^n+1 dans ton égalité tu n'aurais pas oublié avec an et bn la racine de 3 ?
Pour moi on obtient:
(2+ racine de 3) ^n+1 = (an + bn x racine de 3) x (2+racine de 3) ?
Je vois peut etre pas le truc excuse moi...
Et ensuite faut il faire n+1 - n ?
Ce qui donnerait (2+ racine de 3)^n+1 - (2+racine de 3) ^n
Merci d'avance

[le_fabien]

tu n'aurais pas oublié avec an et bn la racine de 3 ?

Oui c'est vrai il y a ce petit oubli.
Par contre :

Ce qui donnerait (2+ racine de 3)^n+1 - (2+racine de 3) ^n

je ne vois pas ce que tu veux.
Marc16 a bien expliqué ce qu'il faut faire.

[Azul]

Je ne sais pas ce que je veux mais j'ai du mal sur ce chapitre et en m'aidant avec d'autres exercices je vois qu'à chaque fois avec l'initialisation on doit vérifier la propriété avec n+1 et on fait souvent n+1 - n d'où mon calcul que j'ai exposé précédement.
Donc en gros je ne dois pas le faire c'est bien ça ?

[marc16]

Bonjour,


C'est juste il manque


On a bien





En posant et

Les suites et existent car on a pu les définir par récurrence.


La réponse est-elle claire?