Equation de bernouilli

[coco76890]

Bonjour a tous...

voila j'ai un petit problème pour mon devoir de math
J'ai l'équation suivante..

x²y''+3xy'+y=1/x² (E)

a étudier sur ]0,+infini[

Le titre de l'exercice étant Equation de bernouilli je pense qu'il faut utiliser cette méthode cependant je ne sais pas ce qu'est une equation de bernouilli ni meme la méthode pour en résoudre une...

Voila les indications de l'éxo

Soit y:I->R deux fois dérivables, et Y:R->R définie par Y(t)=y(exp(t))
a) calculer les derivées y y' et y" en fonction de Y,Y' et Y".
j'ai donc trouver

Y(t)= y(exp(t))
Y'(t)= exp(t)y'(exp(t))
et Y"(t)= exp(t)y'(exp(t)) + exp(2t)y"(exp(t))

Ensuite en question b on me dit en deduire que y est solution de E ssi Y est sol d'une équation différencielle linéaire d'ordre 2 a coefficient constant (E') que l'on précisera

j'en déduit donc que E' s'écrit : a Y"+ bY' +cY=D(t)

je trouve donc en remplacant Y" Y' et Y et en isolant y" y' et y :

a e^2t y"(e^t) + e^t y'(e^t) (a+b) + c y(e^t)= d(t)

on a donc par identification
a e^2t = x²
e^t (a+b) = 3x
c = 1
et d(t)=1/x²

( y a un truc qui me chagrine c'est qu'il y a des t et des x ne faudrait pas il mettre que des x ou que des t)

ce qui equivaut a dire que

a=x²e^-2t
b=3x e^-t - x² e^-2t
c=1
d(t)=1/x²

mais ici a b et c ne sont pas constants...... pourtant ne devrait-il pas censé l'être ?????

du coup par la suite je ne peux pas résoudre E',
et une fois que j'aurais résolut E' comment puis je en déduire les solutions de E sur I ??????

merci d'avance :)

[deniz62]

Il y a une erreur

Y(t)= y.e(t) donc Y'(t)=y.e(t)+y'.e(t) (uv)'=u'v+v'u

[coco76890]

exact merci ! je revois mes calculs...

[coco76890]

nn y a pas d'erreur c'est pas y(t) lol
c'est y(exp(t)) c'est une fonction composé pas un produit de fonction... :)

[nyafai]

Bonjour,
Il faut d'abord que tu répondes bien à la question 1 : on te demande de calculer y, y' et y'' en fonction de Y, Y' et Y'' et tu as fait le contraire.
on a par exemple pour x dans I : y(x)= Y(ln(x)), y'(x)=...

ensuite tu utiliseras le fait que si y vérifie E, on a (par définition de E):
pour tout t dans R:
exp(2t)*y''(exp(t))+3exp(t) *y'(exp(t)) +y(exp(t)) = exp(-2t)

et en utilisant les relation que tu auras trouvé au dessus tu auras ton eéquation linéaire :id:

[coco76890]

ok je test ceci tout de suite ! merci :)

[coco76890]

je comprend pas pourquoi tu as du y'(exp(t)) pourquoi tu n'as pas du Y'(lnx),

ahh c'est pareil nn ????

[coco76890]

en utilisant que y verifie E j'obtiens :

Y"(lnx) + 2*Y'(lnx)+ Y(lnx) = 1/x²

car j'ai y(x)=Y(lnx)
y'(x)=1/x * Y'(lnx)
y"(x)= -1/x² * Y'(lnx) + 1/x² * Y"(lnx)

[nyafai]

non ce n'est pas pareil

l'équation que j'ai écrite c'est juste E avec x remplacé par exp(t) puisque E est valable pour tout x de I.

Par contre, après pour obtenir l'équation linéaire, il faut remplacer par ce que tu auras trouvé au dessus. par exemple je remplacerai le dernier y(expt) par Y(ln(expt))=Y(t) (car y(x)=Y(ln x))

[nyafai]

et ca tu sais résoudre :we: (il faut faire le changement de variable x = exp(t))
tu résous d'abord l'équation homogène : Y''(t)+2Y'(t)+Y(t)=0

et j'imagine qu'on te donne ou on te dit comment trouver une sol particulière de Y''(t)+2Y'(t)+Y(t)=exp(-2t)

sinon je la chercherais sous la forme Y(t)=P(t)exp(-2t) et en identifiant les coefficients du polynome

[coco76890]

on me dit rien de tel mais effectivement je sais trouvé une solution particulière on a appris tout ca !! c'est chouette !!

du coup presque fini mon exo :)

merci beaucoup !! je peux toujours te faire signe si je ne trouve pas ??

:we: :we: :we: :we: :zen: :zen:

[nyafai]

pas forcément moi parce que je serai pas là toute la journée non plus mais si tu postes je suis sûr que ya quelqu'un qui t'aidera

sinon éventuellement un MP si t'es pas pressé

[coco76890]

suite aux calculs je trouve une équation caractérisque : x²+2x+1 = 0

d'ou une solution unique x=-1

donc la solution générale de l'équation homogène est : ( A + Bt ) e^-t

or -1 n'est pas racine de l'équation caractéristique d'ou une solution générale qui vaut Y0 = 3 e^-2t

donc solution de E' : S:{t->(A+Bt)e^-t + 3e^-2t}

pour en déduire les Equations de E l'équation de départ ( x²y"+3xy'+y=1/x² )
je pose Y(t)=y(e^t) ?????

je vois pas trop comment en déduire les solutions après ....

c'est pas evident bernoulli.... :( faut avoir la méthode.... faut le faire une fois quoi....

[coco76890]

en effectuant le changement de variable en utilisant la solution de E'
Y(t)=(A+Bt)e^-t + 3e^-2t

je derive 2 fois Y(t) je remplace dans E' je fais un changement de variable avec Y(t)=Y(e^t) => Y(lnx)=y(x)

et je trouve un truc trop bisar

j'obtiens (1/x) *(2B-3+A+Bt) - 5/x²

or en faisant une identification des termes je devrais avoir
2B-3+A+Bt = 0 et - 5/x²=1/x² ce qui est absurde...... donc je vois pas j'arrive pas je tourne en rond....

[nyafai]

j'ai pas fait les calculs mais si ta solution est bonne, il faut juste que tu fasses le changement de variable inverse : y(x)=Y(lnx)=(A+Blnx)/x +3/x²
et cette solution devrait vérifier ton équation initiale

[coco76890]

oui c'est ce que je viens de comprendre en fait... lol

donc j'allais justement te dire que j'avais trouver !! lol

en tout cas merci beaucoup pour ton aide !!!

Passe une bonne fin de journée !! Moi j'ai un autre exo qui m'attend.... resolution d'une equa diff du premier ordre sur divers intervalle à préciser.... encore pas très marrant lol

Merci encore

[Ourfalli]

Salut coco76890,
J'ai eu le même problème la semaine dernière.
nyafai a raison, on fait un changement de variable .
Je pense que le problème réside dans la dérivée. Vous confondez entre et qui n'est rien d'autre que Y'.
En effet, on est d'accord qu'il s'agit d'exprimer y en fonction de t et non de x, et c'est là où l'erreur arrive.
donc :
, ce que vous avez fait correctement.
Par contre :
(eh oui, ça devient compliqué).
On change la variable par :
.
Je vous laisse vérifier le calcul de la dérivée de qui n'est d'autre que

Ensuite, il suffit de remplacer les résultats obtenus infra pour arriver à la même équation que nyafai, c'est à dire à coefficients constants.

Après tu sais faire.

Equation de Bernouilli :
De ce que je sais, l'équation de Bernouilli est de premier ordre : .
Je ne vois pas le rapport avec l'exercice.

Suivre également les liens :
[url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_différentielle_de_Bernoulli]Equation de Bernouilli sur Wikipédia[/url]
ou celui là (en anglais mais complet...)
Bernouilli's differnetial equation