Probleme exercice nombre complexe

[Flo38]

bonjour

je viens faire appel sur ce forum pour espérer trouver quelqu'un pour m'aider

j'ai cette équation a résoudre :

z^4+z^3+z^2+z+1=0 (z appartient à C)

apparemment l'astuce serait de se ramener a une racine n-ieme de je ne sais quel nombre en factorisant un peu l'équation..

la première question est de montrer que 1 n'est pas solution pour transformer l'équation en un système du genre z différent de 1 et...(il n'y as pas la suite youpi :))

je crois savoir que ce genre de calcul est assez habituel ou typé, mais je n'ai pas trouvé d'info dessus..à vrai dire j'ai même déjà fait un exo du même genre, mais la factorisation était plus évidente..

si quelqu'un sait faire je ne m'attends pas forcément à ce qu'il me donne directement la réponse pour le moment, une indic pourrait suffir..

autre question qui n'a rien à voir : doit on démontrer que le vecteur OM(t) est dérivable ? je veux dire, est ce que ça se démontre ?

merci

[Doraki]

T'as pas une écriture plus simple de 1+x+x²+...+x^n, surtout quand x est différent de 1 ?

[Flo38]

hum..jcrois que ça me rappelle un peu la formule de bernoulli : a^n - b^n
avec pour exemple la démonstration de calculer la somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique..

je me trompe ou c'est pas ça que tu voulais me faire dire ?

du coup ça ferait que 1=z^5 et apres ça donne donc les racines 5eme de 1..

nan en fait ça a pas l'air d'etre juste..

[Purrace]

Ta reponse est bonne mais il faut le justifier.

[Flo38]

bah ça se justifie par le fait que d'après la formule de bernoulli on a (1^5-z^5)/(1-z)=z^4+z^3+z^2+z+1

donc (1^5-z^5)/(1-z)=0

d'où 1=z^5

mais j'dois pas être bien reveillé car quand j'essaie ça ne marche pas...

[Doraki]

C'est bon mais t'as largué le "z est différent de 1"

Evite d'utiliser trop de divisions paske c'est toujours moche :
1+z+z²+z³+z^4 = 0
<=> (1+z+z²+z³+z^4)(1-z) = 0 et z est différent de 1
<=> 1 - z^5 = 0 et z est différent de 1
<=> z^5 = 1 et z est différent de 1

[Purrace]

J'ai jamais entendu parler de formule de "Bernoulli" (Bizarre) il suffit de remarquer que c'est une suite géométrique de raison z et don tu peut appliquer la formule de sommation d'une suite géométrique.
Étudie le cas z=1 séparément et puis fixe ton z différent de 1.

[Flo38]

oui pour le z different de 1 je l'ai largué mais je l'avais en tête :P

mais bon par contre je viens de me redemontrer de manière algébrique que la somme des racines n-ieme d'un complexe fait 0..

si on prend z différent de 1, soit de exp(0) on a les autres racines pour z,z^2,z^3,z^4...

mais j'ai beau recompter jtrouve jamais 0...

les racines c'est bien exp(k2pi/5) avec k entier naturel de 0 à n-1 ? (ici on démarre à k =1 vu que 1 est déja compté dans l'équation..)

non en fait je crois que c'est une fausse alerte, c'est parce que jecrivais que exp(i8pi/5)+exp(i6pi/5)=exp(i14pi/5)...etc..

sinon pour ma deuxieme question vous avez une idée ?

merci en tout cas, je n'y avais pas pensé à utiliser ce binome..

[Purrace]

Effectuer la dérive d'un vecteur est équivalent à effectuer la dérive des coordonnées du vecteur dans une base.(C'est une fonction vectorielle)
Donc tu regarde si les coordonnées sont dérivable .

[Flo38]

Effectuer la dérive d'un vecteur est équivalent à effectuer la dérive des coordonnées du vecteur dans une base.(C'est une fonction vectorielle)
Donc tu regarde si les coordonnées sont dérivable .

ouai mais apparemment il ne faut pas revenir aux coordonnées..(énoncé..)

pour la fin de mon équation, ils disent de factoriser le polynôme d'abord comme produit d'aplication polynomiales à coef complexe, puis à coefficient réel..

je comprends pas ce que ça veut dire..

moi tout ce que j'peux faire c'est factoriser sous la forme de (z-a) avec a chaque racine du polynome..

[Purrace]

Tu utilise le théorème fondamentale qui te permet d'écrire que ton polynôme complexe s'écrit comme (z-w1)(z-w2)(z-w3)(z-w4) où les w sont les racines de ton polynôme , et tu regroupe astucieusement les différent produit pour obtenir le produit de 2 polynôme réel irréductible dans R de degrés 2.

[Flo38]

mais quand tu l'ecris comme ça, c'est ça qu'il appelle un produit d'aplication polynomiale à coef complexe ?

par contre il dit de mettre les solutions sous forme algébrique..

cos(8pi/5)+isin(8pi/5)..un peu lourd non ? surtout quand on est censé pas avoir droit a une calculatrice..

[Purrace]

Ce que tu peut faire c'est qu'au début ton polynôme est a coefficient réelle donc quand tu as calculé les racines tu as à chaque fois la racine complexe et son conjugue , et donc je te propose de regrouper les termes de cette façon [(z-w1)(z-w1conjugue)][(z-w2)(z-w2conjugue)] et la tu développer les membres , et tu devrait obtenir le produit de 2 polynome à coeff réels.

[Flo38]

euh oui mais comment je fais pour mettre les exp(8pi/5) sous forme algébrique sans calculette ?

[Purrace]

IL n'est pas question de calculer les valeur de cos(8pi/5) et de sin(8pi/5).

[Flo38]

bah c'est demandé dans l'énoncé..

et pis pour faire les z-w jsuis bien obligé non ?

[Purrace]

D'abord met t'on polynome sous la forme voulue en suivant ce que je t'ai dit il te suffit juste de remarque qui est le conjugue de qui .
Et puis oui tu est obligé de passer par le corps des complexe pour factoriser ton polynome et utiliser le theoreme fondamentale .

[Flo38]

c'est quoi le corps pour toi ? la forme algébrique ?

et du coup comment je peux faire pour y calculer ?

[Purrace]

Le corps est une structure algébrique que tu verra par la suite .Oublie ca.des que tu aura factoriser ton polynome , alors pose une autre question.

[Flo38]

oui non mais le truc que j'ai pas bien compris, c'est que, pour le factoriser, tu semble dire que je dois employer la forme algébrique, alors que bon a mes yeux cos (8pi/5) par exemple je vois pas trop comment en faire autre chose...j'dois y laisser comme ça ?