salut
Montre que
toute matrice symétrique positive est le produit d'une matrice triangulaire par sa transposée
Matrice symétrique
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par yos » 15 Déc 2005, 23:02
Ce qui est classique, c'est qu'une matrice symétrique (réelle) positive S peut s'écrire t(A)A (où t est l'opérateur de transposition). C'est facile :
S est diagonalisable dans une base orthonormale : S=t(U)DU et les valeurs propres de S sont positives donc D=C² où C est la matrice diagonale dont les éléments sont les racines carrées de ceux de D. D'où S=t(U)C²U=t(CU)CU.
La matrice A telle que S=t(A)A n'est pas unique car on peut la remplacer par VA où V est une matrice orthogonale.
En choisissant V convenablement, on a VA triangulaire, ce que j'entrevois mais il est tard et je laisse ce dernier point aux plus courageux que moi.
Bonsoir.
S est diagonalisable dans une base orthonormale : S=t(U)DU et les valeurs propres de S sont positives donc D=C² où C est la matrice diagonale dont les éléments sont les racines carrées de ceux de D. D'où S=t(U)C²U=t(CU)CU.
La matrice A telle que S=t(A)A n'est pas unique car on peut la remplacer par VA où V est une matrice orthogonale.
En choisissant V convenablement, on a VA triangulaire, ce que j'entrevois mais il est tard et je laisse ce dernier point aux plus courageux que moi.
Bonsoir.
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