Irrationalité de √2

par **acoustica** » 24 Oct 2008, 19:10

Kah a écrit:Serieusement, c'est pas super grave. Sa serai super qu'il y ait une note sur le forum: "comment demontrer l'irrationnalité de V2" parceque ce sujet reviens au moin 3 fois par semaine :we:

Alors un autre problème: l'irrationnalité de racine(3). Any idea? :stupid:

par **leon1789** » 24 Oct 2008, 19:14

Kah a écrit:Serieusement, c'est pas super grave.

quel est l'intérêt de faire un hors sujet en donnant des réponses à des questions pas posées ?

Kah a écrit: Sa serai super qu'il y ait une note sur le forum: "comment demontrer l'irrationnalité de V2" parceque ce sujet reviens au moin 3 fois par semaine :we:

oui, c'est certain !
En plus, on pourrait faire une liste de démos variées !

par **leon1789** » 24 Oct 2008, 19:15

acoustica a écrit:Alors un autre problème: l'irrationnalité de racine(3). Any idea? :stupid:

tu rigoles ou tu es sérieux ?

par **aeon** » 24 Oct 2008, 19:21

Irrationnalité de

On procède par l'absurde :
On suppose qu'il existe une fraction égale à

.
Il existe donc une fraction irréductible égale à

.
Soit

cette fraction.

On déduit :

Soit encore

.

est un nombre pair donc p est un nombre pair.
Je pose p=2n où n est un entier positif > 0

Je déduis de l'équation précédente

est un nombre pair donc q est un nombre pair.

La fraction

n'est pas irréductible, ce qui est contraire à notre hypothèse.

Même raisonnement pour

par **acoustica** » 24 Oct 2008, 19:28

leon1789 a écrit:tu rigoles ou tu es sérieux ?

Non je déconne, ça arrive en ces périodes de vacances
:ptdr: :ptdr: :we: :zen: :arf2: :arf2: :lol:

:technicol :langue2: :arf: :arf: :fan: :fan: :+: :+: :+: :king: :king: :+++: :+++: :bad3: :smoke2: :arme: :arme: :lol4: :king2: :king2: :happy3: :lol3: :lol5: :happy3: :lol2: :happy: :happy: :happy: :happy: :shock:

:badking: :fuck2: :fuck2: :petard: :petard: :petard: :party: :party: :fr:

Oui cet exo est intéressant, c'est un bon check-up car il y a plein de méthodes:
-raisonner avec la parité de p et q
-le fait que 2 n'est pas un carré d'entier (décomposition en produit de facteurs premiers)

pour ceux qui connaissent:
-descente infinie (dans ce cas précis c'est voisin de la méthode de la parité de p et de q)
-valuations p-adiques

par **leon1789** » 24 Oct 2008, 19:30

acoustica a écrit:Non je déconne, ça arrive en ces périodes de vacances
:ptdr: :ptdr: :we: :zen: :arf2: :arf2: :technicol :langue2: :arf: :arf: :fan: :fan: :+: :+: :+: :king: :king: :+++: :+++: :bad3: :smoke2: :arme: :arme: :lol4: :king2: :king2: :happy3: :lol3: :lol5: :happy3: :lol2: :happy: :happy: :happy: :happy: :badking: :fuck2: :fuck2: :petard: :petard: :petard: :party: :party: :fr:

là, on sent que tu décompresses :++:

par **acoustica** » 24 Oct 2008, 19:31

leon1789 a écrit:là, on sent que tu décompresses :++:

carrément, là je vais me passer la soirée sur Maths forum! :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr:

Attend j'en ai mis assez:
:ptdr: :we: :zen: :zen: :fan: :fan: :+: :+: :+: :king: :king: :king2: :king2: :king2: :+++: :+++: :+++: :arme: :arme: :arme: :arme: :freedent: :freedent: :freedent: :happy3: :lol3: :arme: :freedent: :happy: :happy: :happy: :lol5: :happy3: :lol3: :lol4: :king: :lol2: :nerf: :nerf: :nerf:

par **leon1789** » 24 Oct 2008, 19:56

acoustica a écrit:Oui cet exo est intéressant, c'est un bon check-up car il y a plein de méthodes:
-raisonner avec la parité de p et q
-le fait que 2 n'est pas un carré d'entier (décomposition en produit de facteurs premiers)

pour ceux qui connaissent:
-descente infinie (dans ce cas précis c'est voisin de la méthode de la parité de p et de q)
-valuations p-adiques

Sérieux, on se fait un sujet ?

par **acoustica** » 24 Oct 2008, 19:59

leon1789 a écrit:Sérieux, on se fait un sujet ?

Ca marche! aeon a déjà fait une partie du travail. La plus grosse en fait, car c'est la méthode la plus longue à rédiger. :++:

par **acoustica** » 24 Oct 2008, 20:02

Pour les valuations 2-adiques:

Et un entier pair n'est jamais égal à un entier impair.

Décomposition en produit de facteurs premiers:
Si on a:

Alors les exposants des facteurs premiers de a et de b sont tous pairs. Cela découle du fait que

Donc le facteur premier "2" dans la décomposition de b (éventuellement égal à 0) est pair. Comme on multiplie par

, il devient impair (

). Comme la décomposition en produit de facteurs premiers est unique, l'exposant du "2" de la décomposition de a est impair. Il ne peut pas être à la fois pair et impair, d'où l'absurdité.

Pour le sujet, maintenant on copie-colle, non?

par **leon1789** » 24 Oct 2008, 20:13

acoustica a écrit:Ca marche! aeon a déjà fait une partie du travail. La plus grosse en fait, car c'est la méthode la plus longue à rédiger. :++:

Tu vois d'autres messages que l'on pourrait mettre dans cette liste ?
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=72163

par **acoustica** » 24 Oct 2008, 20:19

leon1789 a écrit:Tu vois d'autres messages que l'on pourrait mettre dans cette liste ?
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=72163

des messages non mais d'autres méthodes oui:
la descente infinie que je suis en train de rédiger.

:happy2:

par **acoustica** » 24 Oct 2008, 20:23

Pour la descente infinie:
On suppose que p et q soient les plus petits entiers vérifiants

Soit a un nombre premier différent de 1 divisant q (différent de 1 on traite ce cas à part: en effet si q=1, alors

;)1,4 qui n'est pas un entier)
Alors a divise p.
Donc on a:

donc on a

ce qui contredit que p et q soient les plus petits entiers vérifiants

par **leon1789** » 24 Oct 2008, 20:26

acoustica a écrit:Pour les valuations 2-adiques:
(...)
Et un entier pair n'est jamais égal à un entier impair.

Décomposition en produit de facteurs premiers:
(...)
Il ne peut pas être à la fois pair et impair, d'où l'absurdité.

Elles sont très liées, ces deux preuves.

acoustica a écrit:Pour le sujet, maintenant on copie-colle, non?

oui, ou bien on fait un lien.

par **acoustica** » 24 Oct 2008, 20:28

leon1789 a écrit:
oui, ou bien on fait un lien.

holà, ça c'est technique!

par **acoustica** » 24 Oct 2008, 20:31

leon1789 a écrit:Elles sont très liées, ces deux preuves.

Oui, parce que les valuations découlent de la DPFP...

Je parie que t'es pas cap' de prouver l'irrationalité de la formule que j'ai mis pour ma signature!!! :lol5:

par **leon1789** » 24 Oct 2008, 20:32

acoustica a écrit:Pour la descente infinie:
On suppose que p et q soient les plus petits entiers vérifiant

hum... ce n'est pas vraiment ça, la descente infinie.

Il ne faut pas supposer p et q les plus petits possibles, mais remarquer qu'un couple

vérifiant

induit un autre couple (p/2,q/2) vérifiant la même chose.

Ainsi, si on suppose connaitre un premier couple solution de p^2 = 2 q^2 alors on en construit une infinité tendant vers (0,0) ...

par **acoustica** » 24 Oct 2008, 20:33

leon1789 a écrit:hum... ce n'est pas vraiment ça, la descente infinie.

Il ne faut pas supposer p et q les plus petits possibles, mais remarquer qu'un couple vérifiant induit un autre couple (p/2,q/2) vérifiant la même chose.

Ainsi, si on suppose connaitre un premier couple solution de p^2 = 2 q^2 alors on en construit une infinité tendant vers (0,0) ...

Oui, OK.

En fait, toutes les méthodes sont très liées.

par **leon1789** » 24 Oct 2008, 20:45

acoustica a écrit:En fait, toutes les méthodes sont très liées.

regarde ici, je fais du calcul modulo 3 pour prouver l'irrationalité de

http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=458517&postcount=3

par **acoustica** » 24 Oct 2008, 20:59

leon1789 a écrit:regarde ici, je fais du calcul modulo 3 pour prouver l'irrationalité de
http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=458517&postcount=3

Ah oui pas mal celle-là. Tu l'as mise dans le topic?

Juste un truc: le mettre dans "café mathématique", c'est peut-être pas ce qu'il y a de plus pratique. Dans "lycée", ce serait sans doute mieux, non?

Irrationalité de √2

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