Suite avec recurrences ! niveau Terminale S

[jo6280]

Bonjours à tous !
J'ai un DM à faire et c'est le premier de l'année mais malheureusement ce devoir porte en partie sur un tableur,et en première je n'ai pas assez utiliser le tableur donc je suis dans l'embarras,je vous met l'énoncé :

Énoncé :
Dans un feuille de tableur,faire apparaître dans la 1ere colonne les entiers naturels de 0 à 30.La colonne s'appellera "n" .
Dans une deuxième colonne,faire apparaître les puissance de 2 avec comme exposant le contenu de la première colonne.La colonne s'appellera "2^n"
Dans la troisième colonne,faire apparaître le produit de 100 par le contenu de la première colonne.La colonne s'appellera "100n"

Questions :

Comparer les nombres apparaissant dans les colonnes B et C

Que semble-t-il se passer ? A partir de quel rang ? ( Le mettre en évidence en surlignant la case de la feuille de calcul où il "se passe quelque chose" )
Que se passe-t-il pour des entiers plus grands ?

Démonstration :

Démontrer,par récurrence,que pour tout entier supérieur à ??? ( la valeur que vous trouvez!!),on a toujours : 2^n > 100 n


Voila mon exercice,j'utilise OpenOffice comme tableur,j'ai fait tout ce qui été demander à propos du tableur mais je n'arrive pas la suite,je ne trouve pas de comparaison entre B et C, sauf que entre n=1 et n=9 2^n < 100n

PS : je n'arrive pas à mettre mon tableur sur ce forum car il faut un lien hypertexte et je ne sait pas comment mettre mon image sur internet pour ensuite le mettre ici

[jo6280]

Je ne sait pas si mon raisonnement est assez mathématique mais voilà ce que je dirais pour la partie questions :

On peut remarquer que les nombres dans la colonne B sont multiplier à chaque fois par 2 de range en range,alors que dans la colonne C les termes sont additionner de 100 de rang en rang.On peut constater que de n=1 à n=9 2^n 100n , au rang n=0 on peut aussi constater que 2^n > 100n.

Je trouve que ma réponse n'est pas mathématique,donc comme il n'y a pas de calcul cela sera faux du point de vue du correcteur,si vous pouvez m'aider ce serait vraiment bien,merci d'avances pour votre aide.

[jo6280]

Bon comme l'aide se bouscule par à la porte je vais tenter de faire la partie 3 sans savoir si j'ai le bon raisonnement pour la partie 2 .

Pour la récurrence,je vais tenter d'utiliser avec n=10

Initialisation :
J'initialise à n=10

2^n=2^10 = 1024 | 100n = 100 X 10 = 1000

Euh problème : normalement je devrais trouver le même nombre des deux côté pour que l'initialisation soit bonne et comme ça je pourrais passer à l'hérédité

:help: Aider moi s'il vous plaît :help:

[jo6280]

Toujours personne ?! :triste:
J'ai beau chercher des solutions mais elles sont toutes fausses :help:

[jo6280]

Même pas une petite aide ? :doh:

[jo6280]

Toujours pas d'aide :doh: :triste: :help:

[jo6280]

Quelqu'un peut-il m'aider ? :briques:

[Benjamin]

Bonsoir,

Tu dis que ta réponse n'est pas très mathématique et tu as raison. Mais tu as juste quand même. En effet, on te dit : "que semble-t-il se passer". En gros, on te demande d'avoir un peu de feeling et de faire une conjecture. Pas plus. Tu répond, "il semble que...", c'est tout.

Ensuite, vient la démonstration, pour transformer le "il semble" en affirmation mathématique. Ton initialisation est juste, il n'y a aucun problème. Tu veux montrer que 2^n et plus grand ou égal à 100n, mais aucune obligation d'avoir l'égalité à un rang donné. Tu poursuis avec l'hérédité sans aucun problème :++:

[jo6280]

:we: Merci beaucoup ( enfin quelqu'un qui réponds ^^ ) :we:


Donc maintenant je passe à l'hérédité :

Vu que 2^n > 100n >= 10
Alors au rang suivant 2^n + n+1 > 100n + n+1 > 10

Euh je bloque vraiment beaucoup là :hein: :hein:

[Benjamin]

Tu démontres par récurrence une proposition P(n). Ici, P(n) c'est : 2^n >100n.

Initialisation : P(10) est vraie.

Hérédité, pour tout n supérieur à 10, P(n) vraie implique P(n+1) vraie.
Tu supposes donc que 2^n>100n.

Que peux-tu dire de 2^(n+1) ? Par rapport à 100*(n+1) ?

[jo6280]

Pour tout n supérieur ou égal à 10 :
2^n>100n
2^(n+1) > 100*(n+1)
2^n * 2 > 100n + 100

:hum: :hum: Je bloque =S vous n'auriez pas une aide un peu plus grande car en récurrence je galére vu que je fais des exos que depuis jeudi dernier.Merci de votre aide :++:

[Benjamin]

Bon, déjà, une petite erreur de méthodologie.
On ne dit pas : "pour tout n>10, 2^n>100n."

Si tu écris ça, comme c'est vrai pour tout n, c'est aussi vrai pour n+1 et il n'y a rien à démontrer. Le but de l'hérédité, c'est de dire que si j'atteins un certain rang pour lequel ma proposition est vraie, alors ma proposition est encore vraie pour le rang suivant. Et ainsi, tu peux aller à l'infini. Vois-le comme une échelle : si tu atteint un barreau de l'échelle, tu pourras aller au barreau suivant, et donc monter tout en haut, à l'infini. Et tu ne peux monter à l'échelle que si elle a un premier barreau, c'est le but de l'initialisation.

Pour l'hérédité, tu te donnes donc un entier n0 pour lequel la proposition est vraie (tu te places sur un barreau de l'échelle), et tu regardes si la proposition est toujours vraie pour l'entier n0+1 (tu peux passer au barreau juste au-dessus).

Donc, soit tel que .

Tu veux regarder ce qu'il se passe au rang au-dessus.

. Or , donc .

Il ne te reste plus qu'à montrer que ceci est bien plus grand que 100*(n0+1).

[jo6280]

Merci j'y vois beaucoup plus clair :we:


hypothèse : 2^n>100n

on suppose que la propriété est vraie a partir d'un certain n et on cherche a démontrer quelle l'est aussi o rang n+1

je sais que 2^(n+1)=2^n*2

donc 2^n+1>200n (d'après hypothèse)

de plus 100(n+1)=100n+100

or 100n>100 car n>10

donc 200n>100n+100 càd 200n>100(n+1)

donc 2^n+1>200n>100(n+1)


Voila je crois que c'est cela :hum: mais je doute :doh: si vous me confimer ma réponse je pourrais la recopier confiant sinon si j'ai faux j'espére que vous serrez là pour me montrer les erreurs

[Benjamin]

Quelques petites précisions.

hypothèse : 2^n>100n

on suppose que la propriété est vraie a partir d'un certain n et on cherche a démontrer quelle l'est aussi o rang n+1

L'hypothèse est bien celle-là, mais on ne considère pas qu'elle est vraie à partir d'un certain rang n. Si c'était vrai 'à partir', ce serait vrai pour tous les entiers qu'il y a derrière (donc en particulier pour n+1), et on retrouve le cas d'hier, il n'y a rien à démontrer.

Tu considère l'hypothèse vraie uniquement pour ce 'n' là. Tu te places sur un barreau quelconque de l'échelle, et tu ne regardes que ce barreau là. La rédaction classique est :
"Soit un entier tel que le proposition est vraie..."

Effectivement, tu cherches bien à démontrer qu'elle l'est au rang n+1, c'est bien.

je sais que 2^(n+1)=2^n*2

donc 2^n+1>200n (d'après hypothèse)

de plus 100(n+1)=100n+100

.

Pas de problème, c'est bien.

or 100n>100 car n>10

donc 200n>100n+100 càd 200n>100(n+1)

.

Je ne vois pas en quoi le fait que 100n>100 te permet de dire que 200n>100n+100. Tu n'as toujours pas démontrer que 200n>100(n+1).

Pour t'aider, ce petit indice : 200n=100*(2n).

[jo6280]

2^(n+1)=2^n*2
2^n+1>200n
100(n+1)=100n+100
2^n+1>100(2n)
100(2n)=200n >= 100n+1

Donc là j'ai démontrer que 100(2n) été supérieur à 100n+1 donc la propriété est héréditaire,et je peux conclure ^^ sauf si j'ai encore faux :triste: :doh:

[Benjamin]

L'unique question qu'il reste est pourquoi 100*(2n)>100*(n+1).
C'est évident, mais il faut le dire.

n>1 (car n>10) donc 2n>n+1 donc 100*2n>100*(n+1) donc 200n>100(n+1).

C'est très bien ce que tu as fait. Tu as compris la méthode, et c'est bien là l'essentiel. Le seul petit problème qu'il y avait, c'est comment passer de 2^(n+1)>200n à 2^(n+1)>100*(n+1).

Tu peux conclure oui ;).

[jo6280]

Merci beaucoup de m'avoir aider =D !
C'est grâce à vous que j'ai réussit a finir mon exercice et à le comprendre :we:
Merci :ptdr: :++: