Exercice de suites et récurrences.

[morgan]

Bonjour, j'ai du mal a avancer dans mon exercice, je n'ai pour le moment que réussi à faire quelques questions et j'aurai vraiment besoin d'aide.

Enoncé

On définit les suites u et v par U0 = 3, V0 = 5 et, pour tout entier naturel n, Un+1 = 2UnVn / Un+Vn et Vn+1 = Un+Vn / 2.

1. Montrer que les termes des suites u et v sont strictement positifs.
J'ai réussi à le démontrer grâce à un raisonement par récurrence.

2. Montrer que pour tout entier naturel n:
Vn+1 - Un+1 = (Vn-Un)^2 / 2(Un+Vn)
C'est fait.

3. a) On pose Wn = Vn - Un, montrer que pour tout entier naturel n, 0 est inférieur ou égal à Wn+1 qui est inférieur ou égal à 1/2Wn.
On pourra remarquer que (Vn - Un) / (Vn + Un) = 1 - (2Un) / Vn + Un

J'ai réussi à montrer que c'est supérieur ou égal à 0 mais pas inférieur ou égal à 1/2Wn. Je ne vois pas où utiliser (Vn - Un) / (Vn + Un) = 1 - (2Un) / Vn + Un.

b) En déduire avec un raisonemen par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 est inférieur ou égal à Wn qui est inférieur ou égal à (1/2)^n-1

c) La suite w est-elle convergente ? C'est fait

4. Démontrer que les suites U et V sont adjacentes. C'est fait
Que peut-on en déduire ? (U) et (V) ont une même limite commune.

5. A l'aide de la suite (Un Vn), déterminer la limite commune des suites U et V.

Voila merci pour votre éventuelle aide.

[hellow3]

3.a.
D'apres 2.
W(n+1) = (Vn - Un)² / (2(Un + Vn))

= ((Vn - Un) / (Vn + Un)) * ((Vn - Un) / 2) = ...

[morgan]

Ok merci, je pense avoir trouvé,

J'ai développe W(n+1) comme tu me l'as indiqué et je trouve
W(n+1) = (Vn - Un)/2 - Un - (2Un^2)/(Vn+Un)
Comme (Vn - Un)/2 = 1/2Wn,
On a W(n+1) = 1/2Wn - Un - (2Un^2)/(Vn+Un)
Donc W(n+1) est inférieur ou égal à 1/2 Wn

[morgan]

Petit up ... :triste: