Fraction continue simple et généralisée

[masmoudi]

Bonjour

est-il possible de passer d'une fraction continue simple 1/a1+1/a2 .. vers une fraction continue généralisé b1/a1+b2/a2 ... et inversement

[Clembou]

Bonjour

est-il possible de passer d'une fraction continue simple 1/a1+1/a2 .. vers une fraction continue généralisé b1/a1+b2/a2 ... et inversement

Tu parles de la fraction continue suivante :



et :



???

Parce que là je ne vois que

[ThSQ]

Tu veux dire est-ce qu'on peut passer (via une méthode algorithmique) d'un fraction continue quelconque à une fraction continue régulière ?
Si c'est ça alors c'est non, en tout cas pour l'instant ;)

[leon1789]

Quand on voit les premiers termes d'une fraction continue , peut-on donner un encadrement du réel donné par toute la fraction continue entière ?

Vu la réponse de ThSQ, je pense que non...

[leon1789]

Tu veux dire est-ce qu'on peut passer (via une méthode algorithmique) d'une fraction continue quelconque à une fraction continue régulière ?
Si c'est ça alors c'est non, en tout cas pour l'instant

C'est étrange ce que tu dis là, car la seule exigence pour connaitre un développement en fraction continue régulière d'un réel est de connaitre avec suffisamment de précision.

Or là, c'est évidemment possible ! Donc je ne vois pas d'obstruction à un algo
passant d'une fraction continue quelconque à une fraction continue régulière...

[leon1789]

exemple :

si alors

Et si on ajoute des données alors

Et si on ajoute encore des données alors

etc.
Pourquoi ne peut-on pas écrire un algo qui fait ça ?

[leon1789]

Mon exemple est un peu spécial car il laisse croire qu'une fraction continue de "longueur" permet de connaitre la fraction continue régulière sur une longueur proche de . Mais je crois qu'en général on aura .

[leon1789]

D'ailleurs voici un algo tout simple :
Soit un réel donné par une fraction continue partielle :


Alors est compris entre les rationnels et donnés par les fractions continues "extrapolées" :
et où bien sûr.

On développe alors et en deux fractions continues régulières (finies) et on garde la partie commune : cela donne "la" fraction continue régulière partielle de , maximale par rapport à la donnée :

[ThSQ]

On "algorithmique" était pas bien choisi .. je voulais dire :

si x = [a0,x0|a1,x1|... |an,xn|...] une fraction continue non régulière, est-ce qu'il existe une fonction f (indépendante de x) telle que x = [f(a0,x0)|f(a1,x1)|... |f(an,xn)|...] (f.c. régulière).

Il y a bien sûr un algorithme qui permet de mettre sous forme de f.c. régulière.

[leon1789]

d'accord, ok

[masmoudi]

mon problème consiste à trouver une méthode algorithmique permettant d'approximer un nombre réel avec une fraction continue généralisé car j'ai déja développé un algorithme permettant de calculer le développement en fraction continue régulière de n'importe quel réel

si la méthode existe, je veux savoir si ce développement est unique

[ThSQ]

développement est unique

Ben non puisqu'un développement régulier est aussi un développement généralisé.

[leon1789]

si la méthode existe, je veux savoir si ce développement est unique

1 + 3/2 = 2 + 1/2 !!!

Ca me fait penser à quelqu'un qui disait (sérieusement) : pour mettre au point un algo pour résoudre un problème, il faut bien sûr une preuve de l'existence d'une solution... mais une preuve de l'unicité est aussi appréciable !! :++:

[leon1789]

mon problème consiste à trouver une méthode algorithmique permettant d'approximer un nombre réel avec une fraction continue généralisée

Cette fraction continue généralisée doit-elle vérifier une propriété spéciale en plus ?