Rg(AB)=rg(BA), AB diagonalisable

[zobobo]

Bonjour

A et B sont des matrices carres d'ordre n
On sait que AB diagonalisable et rg(AB)=rg(BA)
Je dois mq BA diagonalisable

J'arrive à mq facilement que AB et BA ont même valeurs propres et de même multiplicité. Comment montrer qu'elles ont m^me dimensions de sous espace propre dans AB et dans BA ?

Merci

[Mohamed]

pour un endomorphisme diagonalisable, la multiplicité est la dimension de sous espace propre....

[sclormu]

Salut,
le cas A ou B inversible est quasi-évident en écrivant
.

Pour le cas général, je ne sais pas. Peut-être peut-on s'y ramener.

[zobobo]

wep je vois pas trop comment généraliser ton truc ...

[abcd22]

Bonsoir,
Si on prend X un vecteur propre de AB pour une valeur propre non nulle a : ABX = aX, donc BA(BX) = a(BX), et BX ne peut pas être nul, car sinon ABX serait nul, et on a supposé a non nul, donc BX est vecteur propre de BA pour a.
Conséquence de ce que je viens d'écrire : la restriction de B au sous-espace propre de AB pour a est injective, donc pour toutes les valeurs propres non nulles de AB, le sous-espace propre correspondant de BA a au moins la même dimension que celui de AB.
Comme rg AB = rg BA, Ker AB et Ker BA ont la même dimension.
On a donc, puisque AB est diagonalisable :
dim Ker AB + (somme des dimensions des sous-espaces propres de AB correspondant aux valeurs propres non nulles) = n <= dim Ker AB + (somme des dimensions des sous-espaces propres de BA correspondant aux valeurs propres non nulles) <= n, donc les inégalités sont des égalités et BA est diagonalisable.