Prouver qu'une matrice est diagonalisable

[Camelia.B]

Bonsoir,
j'ai une question toute simple: est-ce qu'il suffit de montrer qu'une matrice de l'endomorphisme f dans la base B est symétrique pour prouver qu'elle est diagonalisable?

Merci d'avance!

PS: je suis en ECE.

[girdav]

Bonsoir,
si elle est à coefficients réels oui.

[Arnaud-29-31]

Salut,

Si tu arrives à montrer que dans une base B la matrice de f est symétrique réelle alors oui tu peux directement dire que la matrice est diagonalisable.
Si je note B' la base dans laquelle la matrice est diagonale, tu peux même dire que la matrice de passage de B à B' est orthogonale.

[Camelia.B]

(pardon, je suis particulièrement mauvaise en maths, les profs ont dit en plaisantant au conseil que je m'étais trompée de filière et que j'aurais du aller en hypokhâgne..) quand tu dis les coefficients, ce sont tous les nombres qui composent la matrice ou ce ne sont que quelque uns?
Sinon, y a-t-il d'autres méthodes (à mon niveau, pas en MP*) pour le montrer ou c'est la seule?

[laya]

(pardon, je suis particulièrement mauvaise en maths, les profs ont dit en plaisantant au conseil que je m'étais trompée de filière et que j'aurais du aller en hypokhâgne..) quand tu dis les coefficients, ce sont tous les nombres qui composent la matrice ou ce ne sont que quelque uns?
Sinon, y a-t-il d'autres méthodes (à mon niveau, pas en MP*) pour le montrer ou c'est la seule?

Y'en a pleins mais faut-il faire le cours ici ?

[Arnaud-29-31]

Attention, une matrice symétrique réelles (c'est à dire tout les coefficients de la matrices sont réels) est diagonalisable mais la réciproque n'est pas valable.

Oui pour montrer qu'on matrice est diagonalisable, il existe beaucoup d'autres possibilités.

[Camelia.B]

bon tant pis, j'en demande trop. Merci quand même.

[Camelia.B]

Autre question en rapport: pour montrer d'une autre manière que l'endomorphisme f est diagonalisable, il faut qu'il ait 3 valeurs propres c'est bien ça? D'où vient ce 3?

[girdav]

Si la matrice est de taille et que les trois valeurs propres sont distinctes alors la matrice est diagonalisable. Mais la condition est suffisante et non nécessaire (pense à l'identité).

[Camelia.B]

Ah d'accord merci. :-)
Mais les valeurs propres, comment les cherche-t-on? Comment a-t-on l'intuition de chercher 1, 2 ou 4 comme valeur propre? Si par exemple un endomorophisme d'un espace vectoriel de dimension 3 a 3 valeurs propres, est-ce qu'il faut chercher d'abord 1 puis 2 puis 3 ou ça peut être 36?

[Arnaud-29-31]

Salut,
La méthode systématique est de chercher les racines du polynôme caractéristique : avec A ta matrice et I la matrice identité.

[bentaarito]

Ah d'accord merci.
Mais les valeurs propres, comment les cherche-t-on? Comment a-t-on l'intuition de chercher 1, 2 ou 4 comme valeur propre? Si par exemple un endomorophisme d'un espace vectoriel de dimension 3 a 3 valeurs propres, est-ce qu'il faut chercher d'abord 1 puis 2 puis 3 ou ça peut être 36?

et ben les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique :hein:

[Camelia.B]

Merci beaucoup!