Exercice analyse TS

[lalane]

Bonjour, j'ai un dernier exercice à faire et il y a quelques questions qui me gênent, pourriez vous me donnez quelques indications pour me débloquer s'il vous plait ?

1)On considère la fonction f1 définie sur [0 ; +oo[ par :
f1(x) = 2x – 2 +ln(x²+1)

a) Déterminer la limite de f1 en +oo.
-> je trouve +oo.

b) Déterminer la dérivée de f1.
-> je trouve f'1(x) = (2x² + 2 + 2x)/(x² + 1)

c)Dresser le tableau de variations de f1.
-> je n'ai pas trouvé de valeur en lesquelles f''1(x) s'annule alors f'1(x) est croissante ?

2)Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction fn, définie sur [0 ; +oo[ par : fn(x) = 2x – 2 +(ln(x²+1))/n

a) Déterminer la limite de fn en +oo.
-> je trouve encore +oo.

b) Démontrer que la fonction fn est strictement croissante sur [0 ; +oo[.
-> faut il caluler la dérivée ?

c)Démontrer que l'équation fn(x)=0 admet une unique solution alphan sur [0 ; +oo[.
-> si on dit que fn(x) est strictement croissante et continue sur [0 ; +oo[, on peut utiliser le TVI, on trouve comme encadrement 0,7
d)Justifier que, pour tout entier naturel, 0-> j'ai réutiliser la question du dessus.

3)Montrer que pour tout entier naturel non nul, fn(alphan+1)>0
-> là je n'ai pas trouver, il faut utiliser la récurrence ?

4)Etude de la suite (alphan)

a) Montrer que la suite (alphan) est croissante.
-> je bloque ici car je ne vois pas de quelle suite il s'agit.

b) En déduire qu'elle est convergente.
-> si elle est croissante et majorée alors elle converge ?

c)Utiliser l'experssion alphan = 1 -(ln(alpha²n + 1))/2n pour déterminer la limite de cette suite.
-> je suppose qu'il faut utiliser le fait que la suite soit convergente, donc que la limite de alphan = limite de aplphan+1 mais je ne trouve pas.

Merci pour votre aide future

[gol_di_grosso]

1)On considère la fonction f1 définie sur [0 ; +oo[ par :
f1(x) = 2x – 2 +ln(x²+1)

a) Déterminer la limite de f1 en +oo.
-> je trouve +oo.

b) Déterminer la dérivée de f1.
-> je trouve f'1(x) = (2x² + 2 + 2x)/(x² + 1)

oui

c)Dresser le tableau de variations de f1.
-> je n'ai pas trouvé de valeur en lesquelles f''1(x) s'annule alors f'1(x) est croissante ?

il faut savoir où f1' est positive est où elle est négative, comme x²+1>0, il suffit de regarder le signe de 2x²+2x+2...

2)Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction fn, définie sur [0 ; +oo[ par : fn(x) = 2x – 2 +(ln(x²+1))/n

a) Déterminer la limite de fn en +oo.
-> je trouve encore +oo.

==> oui

b) Démontrer que la fonction fn est strictement croissante sur [0 ; +oo[.
-> faut il caluler la dérivée ?

==> probablement

c)Démontrer que l'équation fn(x)=0 admet une unique solution alphan sur [0 ; +oo[.
-> si on dit que fn(x) est strictement croissante et continue sur [0 ; +oo[, on peut utiliser le TVI, on trouve comme encadrement 0,7 il faut ajouter que fn(0) 0
-> là je n'ai pas trouver, il faut utiliser la récurrence ?

==> fn(alphan)=0 et f est strictement croissante c'est à dire que si a je bloque ici car je ne vois pas de quelle suite il s'agit.

==> ben en faite ton alphan dépend de n c'est pour cela que je ne comprend pas pourquoi tu encadre alphan au dessus.

b) En déduire qu'elle est convergente.
-> si elle est croissante et majorée alors elle converge ?

==> oui ta suite a l'air d'être majorer par 1, faut juste le montrer. Par contre en voyant la question suivante je ne sais pas si c'est la bonne méthode.

[Sve@r]

Bonjour, j'ai un dernier exercice à faire et il y a quelques questions qui me gênent, pourriez vous me donnez quelques indications pour me débloquer s'il vous plait ?

1)On considère la fonction f1 définie sur [0 ; +oo[ par :
f1(x) = 2x – 2 +ln(x²+1)

a) Déterminer la limite de f1 en +oo.
-> je trouve +oo.

b) Déterminer la dérivée de f1.
-> je trouve f'1(x) = (2x² + 2 + 2x)/(x² + 1)

c)Dresser le tableau de variations de f1.
-> je n'ai pas trouvé de valeur en lesquelles f''1(x) s'annule alors f'1(x) est croissante ?

2)Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction fn, définie sur [0 ; +oo[ par : fn(x) = 2x – 2 +(ln(x²+1))/n

a) Déterminer la limite de fn en +oo.
-> je trouve encore +oo.

b) Démontrer que la fonction fn est strictement croissante sur [0 ; +oo[.
-> faut il caluler la dérivée ?

c)Démontrer que l'équation fn(x)=0 admet une unique solution alphan sur [0 ; +oo[.
-> si on dit que fn(x) est strictement croissante et continue sur [0 ; +oo[, on peut utiliser le TVI, on trouve comme encadrement 0,7 j'ai réutiliser la question du dessus.

3)Montrer que pour tout entier naturel non nul, fn(alphan+1)>0
-> là je n'ai pas trouver, il faut utiliser la récurrence ?

4)Etude de la suite (alphan)

a) Montrer que la suite (alphan) est croissante.
-> je bloque ici car je ne vois pas de quelle suite il s'agit.

b) En déduire qu'elle est convergente.
-> si elle est croissante et majorée alors elle converge ?

c)Utiliser l'experssion alphan = 1 -(ln(alpha²n + 1))/2n pour déterminer la limite de cette suite.
-> je suppose qu'il faut utiliser le fait que la suite soit convergente, donc que la limite de alphan = limite de aplphan+1 mais je ne trouve pas.

Merci pour votre aide future

1a => ok
1b => ok mais tu aurais pu écrire plus simplement 2 + 2x / (x2 + 1)
1c => ok

2a => ok
2b => évidemment qu'il faut calculer la dérivée puisque c'est son signe qui détermine la croissance => dans ce cas faut considérer "n" comme une constante (et non une variable)
2c => faut juste démontrer qu'il n'y a qu'une solution possible, pas la trouver. Le raisonnement sur la continuité et la croissance suffira
2d => pas bon. Faut montrer que quel que soit n, l'équation fn(x) = 0 donnera un nombre toujours compris entre 0 et 1

3) pas besoin de récurrence. Puisque alphan est compris entre 0 et 1, alors alphan + 1 est compris entre 1 et 2. Tu écris les équations fn(1) et fn(2) et comme la fonction est continue et toujours croissante et qu'à aucun moment elle ne coupe l'axe Ox, elle est toujours > 0

4) la suite alphan c'est la suite qui donne Un=alphan (alphan étant la valeur pour laquelle f(x) vaut 0)
U1 = valeur pour laquelle f1(x) = 0 pour f1(x) = 2x – 2 +(ln(x²+1))/1
U2 = valeur pour laquelle f2(x) = 0 pour f2(x) = 2x – 2 +(ln(x²+1))/2
etc...

[PONFIA]

Bonsoir.

* Pour les question et c'est bon.

*Pour la question ...... vu que , quel est le signe du dénominateur de ? Et celui du numérateur ? Tu peux alors conclure que est ..... sur et donc que est ...... sur

* Pour la question c'est bon.

*Pour la question on te demande de montrer que est strictement croissante sur . Pour cela, il te suffit, de vérifier que pour ................

[lalane]

Et bien merci pour toutes ces réponses, je vais réessayer avec tout cela, et je mettrai mes résultats ensuite.

[lalane]

Alors, pour la question 1)c) x²+1>0, 2x²+2+2x>0 donc f'1(x) est positive donc f1(x) est croissante. (je ferais le tableau de variations)

2)b) Je trouve f'n(x) = 2x/(x²+1) * 1/n + 2
donc f'n(x) est positive donc strictement croissante.

2)c) Si je dis juste que fn(x) est strictement croissante sur [0 ; +oo[ alors d'après le TVI il existe une unique solution alphan telles que fn(x) = 0. Cela suffit ?

2)d) j'ai fait avec ma calculatrice le tableau de valeurs, je trouve f(0.7)=-0.0303 et f(0.8)=0.21837 donc 0.7<=> 0<0.7
3) si on dit que 01fn(1) = ln2/n
fn(2) = 2+ln5/n
peut on conclure que fn(alphan+1) est continue et strictement positive donc fn(alphan+1)>0 ?

4)a) je n'ai pas compris le raisonnement à utiliser.

Merci encore

[gol_di_grosso]

[quote="lalane"]Alors, pour la question 1)c) x²+1>0, 2x²+2+2x>0 donc f'1(x) est positive donc f1(x) est croissante. (je ferais le tableau de variations)
==> oui

2)b) Je trouve f'n(x) = 2x/(x²+1) * 1/n + 2
donc f'n(x) est positive donc strictement croissante.
==>oui

2)c) Si je dis juste que fn(x) est strictement croissante sur [0 ; +oo[ alors d'après le TVI il existe une unique solution alphan telles que fn(x) = 0. Cela suffit ?
==> non x²+1 est strictement croissante sur 0 +oo, pourtant il n'ay a pas de solution. il faut que tu ajoute que f(0)<0, que lim f(x) =+oo en +oo et que f est dontinue sur [0,+oo[.

2)d) j'ai fait avec ma calculatrice le tableau de valeurs, je trouve f(0.7)=-0.0303 et f(0.8)=0.21837 donc 0.7<=> 0<0.7==> oui mais alors tu as pris une valeur de n très précise pour faire ça !!! il ne faut pas.
calcule f(0) et montre que c'est négatif pour tout n puis calcule f(1) puis montre que c'est >0 pour tout n et ensuite utilise le TVI sur [0,1].

3) si on dit que 01fn(1) = ln2/n
fn(2) = 2+ln5/n
peut on conclure que fn(alphan+1) est continue et strictement positive donc fn(alphan+1)>0 ?
==> oui ça marche

fait déjà ça :we:

[lalane]

Alors si on reprend :
2)c) je ne comprend pas le fait que f(0) = -2 <0 aide à la réponse. Pour démontrer que fn(x)=0 admet une unique solution j'ai toujours utilisé le TVI.

2)d) fn(0) = -2 <0
fn(1) = ln2/n >0
donc d'après le TVI il existe une valeur sur [0 ; 1] pour laquelle fn(x) s'annule, donc 0Mais j'ai plus l'impression de répondre à la 2)c).

[gol_di_grosso]

[quote="lalane"]Alors si on reprend :
2)c) je ne comprend pas le fait que f(0) = -2 0
donc d'après le TVI il existe une valeur sur [0 ; 1] pour laquelle fn(x) s'annule, donc 00 ou la limite de f soit >0

[lalane]

Pour la c) alors il faut dire que
la fontion fn(x) est continue et strictement croissante sur [0 ; +oo[.
f(0) = -2
lim fn(x) = +oo en +oo
donc d'après le TVI, il existe une unique solution alphan telle que fn(x) = 0 ?

[gol_di_grosso]

Pour la c) alors il faut dire que
la fontion fn(x) est continue et strictement croissante sur [0 ; +oo[.
f(0) = -2
lim fn(x) = +oo en +oo
donc d'après le TVI, il existe une unique solution alphan telle que fn(x) = 0 ?

voilà tout y est :we:

[lalane]

ok, merci, pourriez vous me donner quelques indications pour la question 4 s'il vous plait ?

[gol_di_grosso]

ok, merci, pourriez vous me donner quelques indications pour la question 4 s'il vous plait ?

question 4a, je peux t'expliquer, mais je suis pas sûr que ce soit le plus simple :

D'abord en fixant x tu montre que .
tu en déduit que la suite des est décroissante.

donc en particulier tu as
c'est à dire
et comme ,
tu en déduit que
et comme la fonction est croissante on a ...
donc la suite des est ...
:hum:
ça va ?

[gol_di_grosso]

et un petit dessin :

[lalane]

et bien ,je ne suis pas vraiment sur de tout comprendre, vous montrer que fn(x) est décroissante alors que l'on a dit le contraire dans les questions précédentes...

[gol_di_grosso]

et bien ,je ne suis pas vraiment sur de tout comprendre, vous montrer que fn(x) est décroissante alors que l'on a dit le contraire dans les questions précédentes...

je parle de la suite (fn) défini par fn=2x-2+ln(x²+1)/n, qui pour chaque n nous donne une fonction.
par exemple
f1(x)=2x-2+ln(x²+1)
f2(x)=2x-2+ln(x²+1)/2
f3(x)=2x-2+ln(x²+1)/3
...
fn(x)=2x-2+ln(x²+1)/n
Et cette suite est décroissante c'est à dire que f1(x)>f2(x)>f3(x)...
Graphiquement (sur le dessin du dessus) on voit que f1 et au dessus de f2 et ainsi de suite.
oui, non ?

[lalane]

ok, ca j'ai compris.

ce qui nous permet de dire cela fn(alphan)>fn+1(alphan) c'est la démo du dessus ?

[gol_di_grosso]

ok, ca j'ai compris.

ce qui nous permet de dire cela fn(alphan)>fn+1(alphan) c'est la démo du dessus ?

oui tu fait fn(x)>f(n+1)(x) (tu fait la différence et tu vois que c'est positif)
donc en particulier pour alphan ... c'est la demo du dessus pour la suite

[lalane]

Comment sait on que fn+1(alphan+1) = 0 ?

[gol_di_grosso]

Comment sait on que fn+1(alphan+1) = 0 ?

par définition de alphan+1, alphan est défini comme étant la solution de fn(x)=0
alpha1 est la solution de f1(x)=0
alpha2 est la solution de f2(x)=0
...
alphan est la solution de fn(x)=0
alphan+1 est la solution de f(n+1)(x)=0