Question ouverte et Polynome

[justinedu35]

[CENTER]Salut à tous,j'ai une petite question de dm que j'ai un peu de mal à rédoudre.
J'ai soit p = x ^4 +1
Et je doisfactoriser P ss forme d'1 produit de coefficient réels[/CENTER]

ALors tout d'abord je sais qu'un polynome de degré n admet n racines réelles ou imaginaires, donc ici normalement 4 racines possibles.
Et aussi comme les coeff sont réels alors les racines imaginaires sont conjugués mais comment retrouver les ecritures par un calcul?

[Benjamin]

Salut,
Une petite astuce générale quand tu as des polynômes de degré 4 dont seul les puissances présentes sont les puissances paires. Un changement de variable X=x² s'avère utile. Si tu n'arrives toujours pas à résoudre, fais moi signe ;)
A plus,

[fatal_error]

Salut,

A priori, il faut factoriser dans IC, et apres comme tu l'as dis, developper les facteurs de termes (ca se dit?) conjugués.

Donc pour factoriser je pense que tu sais faire.
t'obties
ou et sont les conjugués de a et b.
apres tu developpes pareil pour b, qui te donneront de trinomes de second degré à coefficients réels.

[justinedu35]

justement je ne sais plus factoriser... :hum:

[justinedu35]

avec le changement de variable je trouve z1=i ou z2=-i

[Benjamin]

Re,
Utilise la méthode que j'ai fourni plutôt que la factorisation. Changement de variables, ça marche bien. Ensuite, pour factoriser, il faut fonctionner à l'envers. Tu pars de la forme factorisée et tu développes. A toi de choisir la méthode qui te convient le mieux ;)
A plus,

[justinedu35]

Donc quand jeffectue le changement de variable j'ai z1=i et z2= -i
mais après je peux factoriser X²+1= (x-i)(x+i)

mais bon ça c quand jai effectué le changement de variable.
alors si X=x²
c'estequivalent à x²=z1
x²=i
x=+ou- racine de i
ou x²=z2
x²=-i
x=+ou - racine de -1
C'est ennuyeux ces racines

[Benjamin]

Re,
Oui, ces racines peuvent sembler ennuyeuse. Une autre indication donc, écris i et -i sont forme exponentiel. Et vois la fonction racine carré comme une mise à la puissance. Quelle est la valeur de cette puissance ?
A plus,

[fatal_error]

[Hop la, deja entamé par benjamin631, désolé]

PS2:sinon tu peux remarquer que les racines de X^4+1 sont les solutions de
or

D'ou pour k=1..4 (4 racines), mais bon pour la derniere on a pas trop vu ca en terminale...

[justinedu35]

z1= e(ipi/2) et z2=e(3ipi/2)

[justinedu35]

ok j'ai mes valeurs de i maispour la fonction racine je ne vois pas du tout sa va me donner +ou- racine de (e(ipi/2) ou +-racine de e(3ipi/2))

[justinedu35]

Pouvez vous m'aider pour la suite jsuis coincée aux exponentielles

[justinedu35]

je trouve z1= +ou - e (ipi/4) et z2= + ou - e (3ipi/4) et ensuite?

[Youcef]

Salut ..

et bein tes réponses sont bonnes .. maintenant tu obtient bien 4 racines non?? alors qu'est ce que tu vas en faire ??

[justinedu35]

ben normalement on factorise par a (z-z1)(z-z2) pour un trinome du second degré mais làc different ça pourrait faire
(x+eipi/4)(x-eipi/4)(x+eipi/4)(x-eipi/4) MAis les coeff sont reels? ya pas moyen de simplifier e ipi/4?

[justinedu35]

Alors c'est cela?

[Youcef]

ce polynôme n'admet pas de racines dans R . Donc la seul factorisation est celle que tu as trouvé .

Voila voila , bonne journée !

[justinedu35]

Donc comme on me demande de factoriser P sous la forme d'un prduit de polynomes à coefficients réels, c'est que c'est pas possible?

[Youcef]

Re ,

Moi j'ai juste suivi la fin de la discussion, mais je viens de relire ton premier com.

il y a une réponse dans R , je te la prépare tout de suite !

Alors : X^4+1= X^4+2x^2+1-2x^2

= (x^2+1)^2 -2x^2 = (x^2+1)^2 -(x*racine(2))^2

la c'est une identité remarquable , tu sais ce qui te reste a faire !

Quand on demande de factoriser dans R, on doit trouver un produit de polynômes de degré 2 ou 1 . Or la tu arrive a 2 polynome irreductible , donc tu pas pas aller plus loin dans R .

T'as compris ?

[justinedu35]

Donc comme on me demande de factoriser P sous la forme d'un prduit de polynomes à coefficients réels, c'est que c'est pas possible?