Question ouverte et Polynome

[Benjamin]

Salut,

Si, c'est possible. C'est de ma faute, je me suis emballé. Je t'ai fait résoudre dans C, alors qu'on te demandait dans R. Mais bon, c'est toujours ça de pris ;), au moins, tu as vu les racines de racines de l'unité dans C. Maintenant, il faut que tu suives ce que t'as dit Youcef. On travaille dans R dans ton exo. Encore désolé.
A plus,

[justinedu35]

Donc je trouve un truc du type a²-b²
Et j'arrive (x²+1+xracine2)(x²+1-xracinede2) et c TT?

[Benjamin]

Oui, dans R, tu ne peux pas aller plus loin. Pour t'en convaincre, tu peux calculer le discriminant de ces polynômes. Tu trouveras que delta est négatif, et donc, on ne peut pas factoriser dans R puisque les racines sont complexes conjugués.
A plus,

[Youcef]

Oui , c'est tout !! dans R quand tu arrive a des polynômes de degrés 2 , s'ils sont irréductible , tu as fini ta factorisation .

Remarque :

la façon "Standard" de faire ce genre de factorisation , et de trouver les racines complexe (comme tu as trouvé) et après multiplier les termes ou se trouve les conjugués ... dans notre cas si tu prend (x-z1)(x-z2) avec z1 conjugué de z2 , tu vas trouver l'un des deux polynômes que tu viens de mentionner.

Donc , ce qu'il faut retenir : (x-z1)(x-z2) avec z1 conjugué de z2 donne un polynôme a coefficients réels

ai je été
clair ?

[justinedu35]

salut c'est encore mou je suis bloquée une fois que j'ai z1= e ^ipi/2 et z2= e^3ipi/2

Comment je fais acec le changement de variable pour trouver les 4 racines complexes? car je ne me souviens pas comme jai trouvé + ou- e^ipi/4 et +ou- e^3ipi/4

POuvez vous m'aider?

[emdro]

Bonjour,

tu as cherché les racines de x^4+1 en écrivant
x^4+1=0 <=> x^4=-1
<=> x^4=e^(ipi)
<=> |x^4|=|e^(ipi)| et arg(x^4)=arg(e^(ipi))+2kpi
<=> |x|^4=1 et 4arg(x)=pi+2kpi
<=> |x|=1 et arg(x)=pi/4+kpi/2

Toutes tes racines complexes ont pour module 1, et pour argument pi/4, pi/4+pi/2, pi/4+pi, pi/4+3pi/2.

Ce sont donc bien e^(pi/4),e^(pi/4+pi/2), e^(pi/4+pi), e^(pi/4+3pi/2), non?

Ou encore e^(pi/4),e^(3pi/4),e^(-pi/4),e^(-3pi/4).

[justinedu35]

ok c bon! merci