Question ouverte sur fonction exponentielle

[ferdo]

Bonjour,

Voici le problème:

le plan est rapporté à un repère orthonormal (O:i;j), delta 1 et delta 2 sont les droites d'équations respectives y=5/4(x+1) et y=5/4e(x+5)

Déterminer des nombres réels x1 et x2 avec x1 différent de x2 et une fonction f qui à x fait correspondre Ce^kx ou C et k sont des constantes réelles telle que la courbe représentative de f soit tangente à delta1 au point d'abcisse x1 et à delta2 au point d'abcisse x2.

Merci de votre aide

[Elsa_toup]

Bonjour,

Juste pour être sûre de ne pas me tromper d'énoncé: tes fonctions, c'est Delta1 d'équation (5*(x+1))/4 (ou 5/(4*(x+1))?), et delta 2 d'équation (5/4)*exp (x+5) ?
C'est bien ça ?

[ferdo]

L'énoncé effectivement n'était pas très clair,

alors pour delta 1 c'est 5*(x+1)/4 et pour delta 2, 5*(x+5)/4e

Voila, merci beaucoup

[Elsa_toup]

Ecoute je t'avoue que je suis un peu perplexe....
La fonction f s'écrit : C*exp(kx) ????

[ferdo]

oui, c'est cela.
J'ai essayé de travailler avec l'équation de la tangente, avec le nombre dérivé. J'arrive à exprimer k en fonction de x1 et x2 mais... ça ne sert pas à grand chose.
Merci quand même !

[Elsa_toup]

Est-ce que tu tombes sur: k = log [ (x1+1)/(x2+5) ] / (x1-x2-1) ???
Dans quel chapitre êtes-vous en ce moment ? Ca nous aidera peut-être.

[ferdo]

je ne trouve pas ça pour k, mais je ne suis vraiment pas sur de ma réponse.
Je tombe sur k= 1/(x1-x2)
Nous sommes dans les chapitres fonction exponentielle, équations différentielles, nombres complexes...

[Elsa_toup]

Si, c'est toi qui as tout à fait raison.
Donc j'en arrive à cette expression pour f (attention, c'est complèetement indigeste):
f(x) = [5(x1-x2)/4] * exp [(x-x1)/(x1-x2)]

De là à déterminer x1 et x2 ....
Mais je ne désespère pas et continue à chercher !

[Elsa_toup]

J'ai trouvé!
C'est un peu long, donc je t'annoce la bonne nouvelle avant de poster la réponse.
Sois patient, j'ai les doigts gelés, donc je vais pas taper vite .... :we:

[ferdo]

Ok, merci,
je continue, je continue !

[Elsa_toup]

Alors tu as du voir en cours que l'équation d'une tangente d à une courbe C d'équation f en un point x0 est: f '(x0)*(x-x0) + f(x0).

Donc on sait que Delta 1 (je note d1) et delta 2 (d2) sont tangentes à f.
Je sais que l'énoncé le dit dans l'autre sens, mais c'est la même chose et c'est plus clair de dire qu'une droite est tangente à une courbe que le contraire.
Bref !
On a donc que l'équation de d1 est : f '(x1)(x-x1) + f(x1)
et de même, celle de d2 est : f '(x2)(x-x2) + f(x2)

c.a.d (je note y pour x1 et z pour x2, ça ira plus vite):
5(x+1)/4 = kC exp(ky) (x-y) + C exp(ky)
et 5(x+1)/(4e)=kC exp(kz) (x-z) + C exp(kz)

On développe et on identifie les termes en x et les autres, ce qui signifie identifier les coefficients directeurs entre eux et les ordonnées à l'origine entre elles (puisque ce sont des droites affines).
Tu obtiens 4 équations (je te laisse faire les calculs intermédiaires, parce que mes doigts sont violets).
Sache en tout cas que tu pars des équations suivantes:

kC exp(ky) = 5/4
kC exp(kz) = 5/(4e)
C exp(ky) (1-ky) = 5/4
C exp(kz) (1-kz) = 25/(4e)

Je te laisse résoudre tout ça, c'est un peu long, mais fais dans l'ordre: d'abord trouver k (c'est déjà fait, ton résultat est exact), puis C; et enfin en remplaçant k et C dans les 2 dernières équations, tu obtiens y et z.

Je ne te donne pas les réponses, mais tu peux me les soumettre si tu veux vérifier.
Et n'hésite pas à crier si tu es coincé ou ne comprends pas d'où sortent ces 4 équations.

[ferdo]

J'avais bien ces quatre équations mais je ne sais pas pourquoi je ne les ai pas utilisées. En tout cas, merci beaucoup , je fais mes petits calculs et si après vérification ça ne marche pas, je te redemande, mais ça devrait être bon.

Bonne soirée