Une somme difficile

[yanson]

bonjour,

j'aimerais trouver la somme de i=1 à l'infini de c(i,2i)*(1/2)^2i
où c(i,2i)=combinaison de i dans 2i.
merci de m'aider.

[ffpower]

+oo...On a C(i,2i)>4^i/i

[yanson]

+oo...On a C(i,2i)>4^i/i

je ne crois pas parceque d'après ce que tu as fait il était question de comparer c(i,2i) avec (1/2)^(2i)=(1/4)^i qui est différent de (4^i)/i. A moins que je n'ai pas bien compri ce que tu as fait

[emdro]

bonjour,

Ce que ffpower te dit, c'est que comme on a C(i,2i)>4^i/i (pour i assez grand),

c(i,2i)*(1/2)^2i>4^i/i*(1/2)^2i=1/i

Et comme la série harmonique diverge, cela prouve que la tienne diverge.

[yanson]

bonjour,

Ce que ffpower te dit, c'est que comme on a C(i,2i)>4^i/i (pour i assez grand),

c(i,2i)*(1/2)^2i>4^i/i*(1/2)^2i=1/i

Et comme la série harmonique diverge, cela prouve que la tienne diverge.

ah d'accord merci et d'où vient cette majoration?

[emdro]

Je ne sais pas où tu en es dans tes études, mais si tu connais la formule de Stirling, tu pourras prouver que C(k,2k) est équivalent à , et donc qu'à partir d'un certain indice, il sera supérieur à .

Tu peux évidemment le démontrer directement par récurrence.

[yanson]

Je ne sais pas où tu en es dans tes études, mais si tu connais la formule de Stirling, tu pourras prouver que C(k,2k) est équivalent à , et donc qu'à partir d'un certain indice, il sera supérieur à .

oui je connais stirling merci là je comprends mieux .

[ffpower]

Plus simple:par la formule du binome,4^i/(2i+1) est la moyenne arithmethique des C(k,2i) pour k variant entre 0 et 2i.Et une moyenne arithmetique de nombres est plus petite que le plus grand de ces nombres,qui s avere ici etre C(i,2i).donc C(i,2i)>4^i/(2i+1).(bon c pas tout a fait 4^i/i finalement mais presque^^)

[emdro]

Bonne idée astucieuse.
On n'est pas encore à 4^i/i, mais c'est pratique, et permettrait de conclure. :happy2: