Algébre Linéaire

[satfever]

Bonjour, voilà l'énoncé :
Soit f : R^3 -> R^3 l'application linéaire définie par f(x,y,z) = (x-y+z, -x+y+z, 2z)

1) a) Montrez que f est une application linéaire et déterminer sa matrice A dans la base canonique E={e1,e2,e3} de R^3
F répond aux 2 axiomes ( f(u+v)=f(u) + f(v) , f(µU) = µf(U) )
donc f est une A.L avec Mat (f,R^3)A = ((1,-1,1),(-1,1,1),(0,0,2))
b) Déterminer Ker(f) et en donner une base. On notera u1 le vecteur de cette base. L'application f est-elle injective?Surjective?
Ker(f) = Vect{(1,1,0)} avec u1=(1,1,0). On a Ker(f) different de 0 donc f n'est pas injective.Comme injective implique surjective d'apres le th.du rang alors f n'est pas surjective.
2)Determiner la dimension de Im(f) et montrer que les vecteurs u2= (-1,1,0) et u3=(1,1,2) en forment une base .
D'après le th du rang, on a dimF=dimKer(f) + dimIm(f) -> 3=1+dimIm(f) -> dimIm(f) = 2.On a u2 et u3 qui en forment une base car {u2,u3} est de dim2 et que cette famille est libre.

3)Montrer que Im(f) = Ker(f- 2Id) (on calculera f(u2) et f(u3))
Par contre la... J'ai f(u2) = (-2,2,0) et f(u3) = (2,2,4) dans E et 2id=((2,0,0),(0,2,0),(0,0,2))...
Je comprend pas il faut que j'écrive f dans la base {u2,u3}??
Ou f est bien l'A.L de départ??
et on a Imf de dim2 et Ker(f) de dim1..je comprends plus


4) Démontrer que X = {u1,u2,u3} est une base de R^3 et determiner la matrice D de f dans cette base.
X est de dim3 et X est libre donc X est une base de R^3 soit Mat(f,X) D=((0,0,0),(0,2,0),(0,0,2))...mais je trouve cela bizarre pourtant j'ai écrit f(u1),f(u2) et f(u3) dans la base X,grace à l'unicité des coefficient...

5) Donner une matrice P inversible telle que D = P^(-1)AP
Pour trouver P j'ai fait e1,e2 et e3 dans la base X et j'ai trouver P=((1/2,1/2,0),(-1/2,1/2,0),(0,0,1/2)) ???
J'espère que vous pourrez m'aider...
Merci

[XENSECP]

Euh tu as besoin de quoi en clair ?

[satfever]

A partir de la 3), je galère un peu.

[XENSECP]

moi j'aurais écris l'application dans la base canonique (matrice) tout de suite :-) c'est + simple :)

[satfever]

comment sa, (f-2Id) dans la base canonique?

f-2Id = ((1,-1,1),(-1,1,1),(0,0,2)) - ((2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)) = ((-1,-1,1),(-1-1,1),(0,0,0)) = (-1,-1,1)

Sa me parait être bizarre... :briques:

[ffpower]

5 etoiles..ben voyons

[lee]

Pour la 5) tes matrices A et D sont semblables donc P et P^-1 sont tes matrices de passage de E à X dans R^3.


pour la 3 tu peux ptetre procéder par double inclusion et meme équivalence tu vois bien que f(u3)=u3 et f(u2)=u2 donc vect (u2,u3) inclus dans ker (f-2id) et à fortiori Im f inclus dans ker (f-2Id) ca c t l'inclusion triviale l'autre je vois pas trop pour l'instant un système semble pas judicieux..?