Une tangente pour deux paraboles

[Linux42120]

Bonjour à tous et à toutes.
Voilà, j'ai un exercice de maths à faire mais je bloque sur la deuxième partie. J'espère donc que vous pourrait m'aider :we: .

[CENTER]L'énoncé:[/CENTER]
Démontrer que les deux paraboles P1 et P2 d'équations respectives y= 2x² + 2x + 1 et y= -(1/2)x² - 6x - 9 ont une tangente commune alors qu'elles n'ont aucun point commun.
[CENTER]
Mes réponses:[/CENTER]
Dans cette exercice, je pense qu'il faut faire deux choses différentes:
[INDENT]- Démontrer que les deux paraboles ont une tangente commune[/INDENT]
[INDENT]- Démontrer qu'elles n'ont aucun point commun[/INDENT]

Pour" Démontrer que les deux paraboles ont une tangente"

Pour P1: y= 2x² + 2x + 1:
On a f(x) = 2x² + 2x + 1
Or, f est une fonction polynôme donc f'(x)=4x+2

Pour P2: y= -(1/2)x² - 6x - 9:
On a g(x) = -(1/2)x² - 6x - 9
Or, g est une fonction polynôme donc g'(x)= -x-6

Voilà, à partir de là, je suis bloqué je ne sais plus trop quoi faire: je pense qu'il faut calculer g'(x) = f'(x) mais je n'en suis pas sur :mur: .
Merci d'avance à tous ceux qui pourront m'aider :help: .
Merci

[chan79]

Bonjour
Ecris l'équation d'une tangente à la courbe de f en a
Ecris l'équation d'une tangente à la courbe de g en b
les coefficients directeurs doivent être les mêmes, ce qui te donnera une relation entre a et b (b=-4a-8)
il faudra trouver a pour que les équations soient les mêmes
tu dois tomber sur deux valeurs de a (a=-1 ou a=-2.2)
il y a donc deux tangentes communes
Bon courage pour les calculs

[Linux42120]

Désolé de ne pas vous avoir répondu plus tôt mais j'ai eu quelques problème de connexion aujourd'hui.
Sinon, je vais essayer de faire sa demain et je vous donnerai une réponse le plus vite possible
Merci de m'avoir répondu :we:

[annick]

Bonsoir,

La réponse qui me parait la plus simple, c'est :

Pour démontrer que les courbes n'ont pas de point commun, il suffit de prouver que f(x)=g(x) n'a pas de solution.

Pour démontrer qu'elles ont une tangente commune, il suffit de prouver que f'(x)=g'(x) pour une certaine valeur x0

[rene38]

Bonsoir

Pour démontrer qu'elles ont une tangente commune, il suffit de prouver que f'(x)=g'(x) pour une certaine valeur x0

Non : les 2 points de contact n'ont pas la même abscisse.

[Linux42120]

Bonjour,
J'ai réussi à prouver que les deux courbes n'ont aucun point commun mais par contre, je bloque toujours pour démontrer qu'elles ont une tangente commune.

[INDENT] - Les courbes n'ont aucun points commun[/INDENT]
P1: y = 2x² + 2x + 1 donc soit f(x) = 2x² + 2x + 1
P2: y = -(1/2)x² - 6x - 9 donc soit g(x) = -(1/2)x² - 6x - 9

On résout l'équation f(x) = g(x) d'où:
f(x) = g(x)
2x² + 2x + 1 = -(1/2)x² - 6x - 9
2x² + 2x + 1 + (1/2)x² + 6x + 9 = 0
(5/2)x² + 8x + 10 = 0
A présent, on calcule le discriminant du trinôme (5/2)x² + 8x + 10 d'où:
DELTA = b² - 4ac = 8² - 4 * (5/2) * 10 = -36.
Ainsi, comme le discriminant du trinome (5/2)x² + 8x + 10 est négatif, alors l'équation f(x) = g(x) n'adment aucune solution et donc, les courbes P1 et P2 n'ont aucun points commun.

[INDENT]- Tangente commune [/INDENT]
f(x) = 2x² + 2x + 1 donc:
f'(x) = 4x + 2

De plus, g(x) = -(1/2)x² - 6x -9 donc:
g'(x) = -x - 6

Ainsi, on a: Ta:y= 4ax - 2a² + 2x + 1
Tb:y= -bx + (1/2)b² -6x -9
Voilà et à partir d'ici je ne sais pas quoi faire.
Aidez moi s'il vous plaît :mur: :dingue:
Merci d'avance.

[chan79]

salut
écris que les deux tangentes ont la même pente (coefficient directeur) et la même ordonnée à l'origine
si une droite a comme équation y=mx+p la pente est m et l'ordonnée à l'origine est p

[Linux42120]

Bonjour,
Mais ce que je comprends pas ici, c'est que les deux tangentes que j'ai calculé ne sont pas de le forme y=mx+p ?
Ta:y= 4ax - 2a² + 2x + 1
Tb:y= -bx + (1/2)b² -6x -9

Ou alors je me suis trompé ?

[Sa Majesté]

Si !
Ta:y= (4a + 2)x - 2a² + 1
Tb:y= (-b-6)x + (1/2)b² -9

[Linux42120]

A oui, d'accord. Mais dans ce cas là, les deux tangentes n'ont rien en commun puisque le coefficient directeur de Ta est 4a + 2 et celui de Tb est -b-6.
L'ordonnée à l'origine de Ta est 1 et celle de Tb est -9.
Je doit être vraiment con je crois... :marteau:

[Sa Majesté]

Le coefficient directeur de Ta est 4a + 2 et celui de Tb est -b-6.
L'ordonnée à l'origine de Ta est -2a²+1 et celle de Tb est (1/2)b² -9.
Les 2 tangentes sont égales si elles ont le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine.
Cela donne un système de 2 équations à 2 inconnues (a et b).

[Linux42120]

Ok, je vais faire sa cette après-midi et je reposterai surement pour vous demander quelque chose que je n'est pas très bien compris.
Merci

[Linux42120]

Alors, le système est :

{ 4a = -b-8
{ -2a² = (1/2)b²-10
<=>
{ b = -8-4a
{ -2a² = (1/2)(-8-4a)² -10
<=>
{ b = -8-4a
{ -2a² = 8a² +32a +32a-10
<=>
{ b = -8-4a
{-2a²-8a²-32-22=0
<=>
{ b = -8-4a
{-10a² -32a -22 = 0

On calcule le discriminant du trinôme -10a² -32a -22 d'où:
DELTA = b²-4ac= 144.
Ainsi, le trinôme -10a² -32a -22 admet deux racines réelles doubles: -1 et -2.2.

Ainsi, les courbes P1 et P2 ont deux tangentes communes qui sont:
T1:y= f'(-1)(x+1)+f(1)
y=-2x-1
T2:y=f(-2.2)(x+2)+f(2)
y=-6.8x+0.12
:happy2:
Voilà, mais je ne suis vraiment pas sur de ma rédaction. Alors si vous pouvez me dire si j'ai juste et si ma rédaction est bonne, je vous en serait très reconnaissant.
Merci d'avance. :we: