Fonction ln, équations et inéquations (Ts)

[Arkange]

Bonjour,

J'aurais besoin de vos lumières sur cette exo. Je bloque à la question B 2.

L'objet de ce problème est l'étude de quelques propriétés des fonctions fn avec n entier naturel non nul, définies sur ]0;+infini[ par : fn(x) = x - n - n(lnx/x).

La représentation graphique de fn dans un répère (0;i;j) orthonormal est notée Cn.

A. Etude des variations de fn

1. Soit, pour tout naturel n non nul, la fonction gn définie sur l'intervalle ]0;+infini[ par : gn(x) = x^2- n + n ln x
Etudier gn; préciser ces limites en 0 et +infini
Montrer que l'équation gn(x) = 0 admet une solution unique notée Xn et que cette solution est dans [1;3]

2. Montrer que, sur l'intervalle ]0;+infini [, f'n(x) = gn(x) / x^2, et en déduire le sens de variation de fn.

3. a. étudier les limites de fn en 0 et en +infini .
b. Montrer que la droite Dn d'équation y = x - n est asymptote à la courbe Cn.
c. Etudier la position de Cn par rapport à Dn.

B. Etude des cas particuliers n = 1 et n = 2

1. Xn étant le nombre défini en A1, montrer que X1 = 1 et 1.2 < X2 < 1.3

2.a. En utilisant les règles sur les inégalités et l'encadrement de X2 précédent, montrer que f2 (2) -1.24

b. en utilisant le sens de variation de f2, montrer que f2(2) -1.10

Ah oui aussi pour la B1 est-ce que on peut dire ça:

D'après la question 1 on doit avoir g1(X1) = 0
Et on suppose que X1 = 1 , on calcule g1(X1) ce qui fait 0
Donc X1 = 1 ?

je suis pas sur

Et pour la B2, honnêtement pour l'instant je vois pas!

Merci pour toute aide.

[Arkange]

oops désolé j'avais pas vu les fautes de frappe

B. Etude des cas particuliers n = 1 et n = 2

1. Xn étant le nombre défini en A1, montrer que X1 = 1 et 1.2 < X2 < 1.3

2.a. En utilisant les règles sur les inégalités et l'encadrement de X2 précédent, montrer que f2 (2) >1.24

b. en utilisant le sens de variation de f2, montrer que f2(2)<1.10

Merci!

[Arkange]

up

Personne ne vois? :triste:

[Sa Majesté]

g2(x) = x² - 2 + 2lnx
f2(x) = x - 2 - 2lnx / x
Exprime le fait que g2(X2) = 0
Remplace ln(X2) dans l'expression de f(X2)
Utilise l'encadrement de X2 pour montrer que f(X2) > -1.27

[Arkange]

la question c'est:

2.a. En utilisant les règles sur les inégalités et l'encadrement de X2 précédent, montrer que f2 (2) > - 1,24

b. en utilisant le sens de variation de f2, montrer que f2(2)< -1,10


donc tu voulais dire "utilise l'encadrement de X2 pour montrer que f(X2) > -1.24" ?

Je vais essayer de voir ça

[Arkange]

Je comprends vraiment pas la 2.a et la 2.b :triste:

Personne ne peut m'aider?

[Sa Majesté]

Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans mes explications ?

[Arkange]

eh bien j'arrive pas à trouver le résultat:

J'ai en utilisant le fait que g2(X2) = 0, ln X2 = (-X2²+2)/2
Si j'ai bien compris il faut remplacer dans l'expression de f2(X2):

f2(X2) = X2-2-2(-X2²+2)/(2X2) = X2-2+(X2²-2)/X2

Et ensuite, je vois pas?

Merci!

[Sa Majesté]

f2(X2) = X2-2-2(-X2²+2)/(2X2) = X2-2+(X2²-2)/X2
Ce qui se simplifie un peu
f2(X2) = 2 X2 - 2/X2 - 2
Après tu utilises
1.2 < X2 < 1.3
pour trouver un encadrement de f2(X2)

[Arkange]

Je trouve ça comme encadremet:

-1.27
C'est normal ?

Et je vois vraiment comment on peut faire avec les variations (question b) ?? :triste:

[Sa Majesté]

g2(X2)=0 et g2=f2'
f2 est décroissante de 0 à X2 et croissante de X2 à +oo
1.2 < X2 < 1.3
donc f2(X2) < f2(1.2) et f2(X2) < f2(1.3)

[Arkange]

ok, je vois merci!