Le truc du banquier !!! [TS]

[cindynight]

Bonjour a tous , j'ai un exo a faire pour lundi et je vois vraiment pas commetn faire pouvez vous m'aider svp. Merci d'avance


Exercice 3 : Le truc du banquier.

Les banquiers calculent mentalement le temps approximatif de doublement d'un capital placé à intérets composés, de la façon suivante : “si t est le taux d'intéret (en %), le capital double au bout de 70/t ann´ees”.
On rappelle qu'au bout de n ann´ees de placement au taux t, la valeur du capital est multiplé par (1 + t/100)^n.

1-) Etablir, pour x supérieur ou egal à 0, l'encadrement :
x ;)(x²/2)inferieur ou egal ln(1 + x) inférieur ou egal x
2-) En d´eduire un majorant de l'erreur dans l'approximation ln(1 + x) environ egal à x.
3-) Justifier le truc du banquier pour les petites valeurs de t (t <= 14)
4-) Enoncer des règles analogues pour d´eterminer le temps au bout duquel le capital triple, quintuple, décuple.

[Noemi]

Quelle est la question qui te pose problème ?
Pour la première question, tu peux utiliser un développement limité de ln(1+x).

[raito123]

Quelle est la question qui te pose problème ?
Pour la première question, tu peux utiliser un développement limité de ln(1+x).

Dévellopement limité au lycée?

Je propose d'étudier le signe d'une bonne fonction et trouver ses variation puis son signe!!!

[cindynight]

En fait le 1) c'est bon on va le faire avec la prof mai les autres question je ne vois pas du tout

[cindynight]

Vous pourriez m'aider svp

[Noemi]

Pour la première question, étudie les variations de x - ln(1+x) et ln(1+x)-x + x^2/2.

L'étude porte ensuite sur la résolution de l'inéquation (1+t/100)^n >=2
Soit n ln(1+t/100) >= ln2
soit n >= ln2 /ln(1+t/100)
Comme ln(1+x) <= x, alors 1/ln(1+x) >= 1/x
Soit n >= ln2 / (t/100)

Je te laisse poursuivre.

[cindynight]

pourquoi supérieur ou egal a 2 c'est sa ke je comprend pas

[Noemi]

Soit C le capital, Cn = C(1 + t/100)^n.
Il faut calculer n pour que le capital double
Soit Cn = 2C, donc (1 + t/100)^n = 2.

[cindynight]

Cependant ce que tu dis la c'est pour quelle question?

[Noemi]

C'est pour la question 3.

[cindynight]

oulala jmen sort plu la on peut pa le faire ds l'ordre stp (en fait la kestion 1) c'est bon on la fait avc notre prof )

[Noemi]

1-) Etablir, pour x supérieur ou egal à 0, l'encadrement :
x ;)(x²/2) < ou= ln(1 + x) < ou = x
Etudie les variations de f(x) = x - ln(1+x)
puis les variations de g(x) = ln(1+x) - x + (x²/2)
2-) En déduire un majorant de l'erreur dans l'approximation ln(1 + x) environ égal à x.
un majorant de l'erreur x²/2.
3-) Justifier le truc du banquier pour les petites valeurs de t (t <= 14)
(1+t/100)^n >=2
Soit n ln(1+t/100) >= ln2
soit n >= ln2 /ln(1+t/100)
Comme ln(1+x) <= x, alors 1/ln(1+x) >= 1/x
Soit n >= ln2 / (t/100) = 100ln2 /t voisin de 70/t
4-) Enoncer des règles analogues pour déterminer le temps au bout duquel le capital triple, quintuple, décuple.
Pour le triple résoudre (1+t/100)^n >=3, soit n >= 100ln3/t
et ainsi de suite

[cindynight]

Pour la 2) je justifie avec l'egalité de la question 1) jpense

[Noemi]

Oui, pour la question 2, c'est en déduire à partir du résultat de la question 1)

[cindynight]

Par contre le 3) je comprend ta démarche mais je vois pa en quoi sa fait pour les valeur plus petite que 14

[Noemi]

x = t/100
Pour t = 14, t/100 = 14/100 = 0,14 et t^2/2 = 0,098 erreur limite sur 0,14
Si t >14 exemple 20, t/100 = 0,20 et t^2/2 = 0,02.

[cindynight]

Tu va surement me prendre pour une idiote mais je m'embrouille un peu la

[Noemi]

Tu n'as pas à démontrer le 14.

[cindynight]

je m'arrete où alors? je m'aret lorske j'obtient n>= 100ln(2)/t qui est voisin de 70/t et c'est bon j'ai fait la 3) ??

[Noemi]

oui, c'est la conclusion de la question 3), on retrouve l'indication du banquier.